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反Erf函式

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InverseErf

反erf函式是 反函式 erf^(-1)(z)，它是 erf 函式 erf(x) 的反函式，使得

erf(erf^(-1)(x))=x
(1)
erf^(-1)(erf(x))=x,
(2)

第一個恆等式對於 -1<x<1 成立，第二個恆等式對於 x in R 成立。它在 Wolfram 語言 中實現為InverseErf[x]。

它是一個奇函式，因為

erf^(-1)(x)=-erf^(-1)(-x).
(3)

它具有特殊值

erf^(-1)(-1)=-infty
(4)
erf^(-1)(0)=0
(5)
erf^(-1)(1)=infty.
(6)

是否

erf^(-1)(1/2)=0.47693627...
(7)

（OEIS A069286）可以用閉合形式寫出，目前尚不清楚。

它滿足方程

erf^(-1)(x)=erfc^(-1)(1-x)
(8)

其中 erfc^(-1)(x) 是反erfc 函式。

它具有導數

d/(dx)erf^(-1)(x)=1/2sqrt(pi)e^([erf^(-1)(x)]^2),
(9)

並且它的積分是

interf^(-1)(x)dx=-(e^(-[erf^(-1)(x)]^2))/(sqrt(pi))
(10)

（這可以從 Parker 1955 年的方法得出）。

定積分由下式給出

int_0^1erf^(-1)(z)dz=1/(sqrt(pi))
(11)
=0.564189582...
(12)
int_0^1ln[erf^(-1)(z)]dz=-(1/2gamma+ln2)
(13)
=-0.98175...
(14)

（OEIS A087197 和 A114864），其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，ln2 是 自然對數 2。

麥克勞林級數 erf^(-1)(x) 由下式給出

erf^(-1)(x)=sqrt(pi)(1/2x+1/(24)pix^3+7/(960)pi^2x^5+(127)/(80640)pi^3x^7+...)
(15)

（OEIS A002067 和 A007019）。寫成簡化形式，使得 x 的係數為 1，

erf^(-1)((2x)/(sqrt(pi)))=x+1/3x^3+7/(30)x^5+(127)/(630)x^7+...
(16)

（OEIS A092676 和 A092677）。該級數的第 n 個係數可以計算為

a_n=(c_n)/(2n+1),
(17)

其中 c_n 由遞推方程給出

c_n=sum_(k=0)^(n-1)(c_kc_(n-1-k))/((k+1)(2k+1))
(18)

初始條件為 c_0=1。

另請參閱

置信區間，Erf，反Erfc函式，概然誤差

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErf/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErf2/

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參考文獻

Bergeron, F.; Labelle, G.; and Leroux, P. Ch. 5 in Combinatorial Species and Tree-Like Structures. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Carlitz, L. "The Inverse of the Error Function." Pacific J. Math. 13, 459-470, 1963.Parker, F. D. "Integrals of Inverse Functions." Amer. Math. Monthly 62, 439-440, 1955.Sloane, N. J. A. Sequences A002067/M4458, A007019/M3126, A069286, A087197, A092676, A092677, A114859, A114860, and A114864 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "反Erf函式。" 來源： Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseErf.html

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