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置信區間

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置信區間是一個測量值或試驗落入的區間，對應於給定的機率。通常，感興趣的置信區間是對稱地放置在均值周圍的，因此對稱機率密度函式的 50% 置信區間將是區間 [-a,a] 使得

1/2=int_(-a)^aP(x)dx.
(1)
ConfidenceIntervalProbability

對於正態分佈，測量值落在均值mu的n個標準差（nsigma）內（即，在區間[mu-nsigma,mu+nsigma]內）的機率由下式給出

P(mu-nsigma<x<mu+nsigma)=1/(sigmasqrt(2pi))int_(mu-nsigma)^(mu+nsigma)e^(-(x-mu)^2/(2sigma^2))dx
(2)
=2/(sigmasqrt(2pi))int_mu^(mu+nsigma)e^(-(x-mu)^2/(2sigma^2))dx.
(3)

現在令u=(x-mu)/sqrt(2)sigma，所以du=dx/sqrt(2)sigma。那麼

P(mu-nsigma<x<mu+nsigma)=2/(sigmasqrt(2pi))sqrt(2)sigmaint_0^(n/sqrt(2))e^(-u^2)du
(4)
=2/(sqrt(pi))int_0^(n/sqrt(2))e^(-u^2)du
(5)
=erf(n/(sqrt(2))),
(6)

其中erf(x)是所謂的誤差函式。下表總結了對於x_n=nsigma，當n值較小時，來自正態分佈的測量值落在[mu-x_n,mu+x_n]內的機率P(mu-x_n<x<mu+x_n)。

x_nP(mu-x_n<x<mu+x_n)
sigma0.6826895
2sigma0.9544997
3sigma0.9973002
4sigma0.9999366
5sigma0.9999994
ConfidenceIntervals

相反，要找到以sigma為單位的正態分佈的機率-P置信區間，解方程 (5) 中的n得到

n=sqrt(2)erf^(-1)(P),
(7)

其中erf^(-1)(x)是反誤差函式。下表給出了x_P的值，使得對於一些有代表性的P值，[mu-x_P,mu+x_P]是機率-P置信區間。這些值可以透過以下方式返回NormalCI[0, 1, ConfidenceLevel -> P] 在 Wolfram 語言 包中HypothesisTesting` .

Px_P
0.8001.28155sigma
0.9001.64485sigma
0.9501.95996sigma
0.9902.57583sigma
0.9952.80703sigma
0.9993.29053sigma

另請參閱

置信限, Alpha 值, 誤差函式, 反誤差函式, 正態分佈, P 值, 顯著性, 標準差 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. “二項分佈引數的置信限”和“置信區間圖表。” §11.4 和 11.5 在 統計數學，第 1 部分，第 3 版 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 167-169, 1962年。

在 上被引用

置信區間

請引用為

Weisstein, Eric W. “置信區間。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ConfidenceInterval.html

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