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不完全貝塔函式

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完全貝塔函式的推廣，定義為

B(z;a,b)=int_0^zu^(a-1)(1-u)^(b-1)du,
(1)

有時也表示為 B_z(a,b)。所謂的切比雪夫積分由下式給出

intx^p(1-x)^qdx=B(x;1+p,1+q).
(2)

不完全貝塔函式在 Wolfram 語言中實現為Beta[z, a, b].

它由超幾何函式表示為

B(z;a,b)=(z^a)/a_2F_1(a,1-b;a+1;z)
(3)
=z^aGamma(a)_2F^~_1(a,1-b;a+1;z).
(4)

它也由以下級數給出

B(z;a,b)=z^asum_(n=0)^infty((1-b)_n)/(n!(a+n))z^n,
(5)

其中 (x)_n 是Pochhammer 符號。

當 z=1, 時，不完全貝塔函式 B(z;a,b) 簡化為通常的貝塔函式 B(a,b)，

B(1;a,b)=B(a,b).
(6)

它的導數為

(dB(z;a,b))/(dz)=(1-z)^(b-1)z^(a-1)
(7)

和不定積分為

intB(z;a,b)dz=zB(z;a,b)-B(z,a+1,b).
(8)

另請參閱

貝塔函式, 切比雪夫積分, 正則化貝塔函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta3/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta4/

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參考文獻

Pearson, K. (Ed.). 不完全貝塔函式表，第二版。 英國劍橋：劍橋大學出版社，1968 年。

在 中被引用

不完全貝塔函式

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "不完全貝塔函式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/IncompleteBetaFunction.html

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