聖彼得堡悖論

考慮一個由尼古拉斯·伯努利首次提出的遊戲，玩家投注在第一次出現正面之前需要拋擲多少次硬幣。玩家最初支付固定金額，然後在第次拋擲時硬幣正面朝上，則獲得 美元。收益的期望值為

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美元，因此可以下注任何有限金額的錢，玩家平均下來仍然會佔優勢。

費勒（Feller，1968）討論了該遊戲的修改版本，其中如果試驗次數超過固定次數 ，玩家將一無所獲。這個修改後遊戲的經典理論認為 是合理的入場費，但費勒指出，“現代學生很難理解關於這個‘悖論’的神秘討論。”

在遊戲的另一個修改版本中，玩家投注 2 美元賭第一次拋擲出現正面，4 美元賭第二次拋擲出現正面（如果第一次沒有出現正面），8 美元賭第三次拋擲出現正面，依此類推。那麼期望收益是

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因此，玩家顯然可能虧損任何金額的錢，但最終仍然會佔優勢。透過區分最終收益金額和遊戲中淨贏金額，可以清楚地解決這個悖論。不考慮先前投注損失的金額而僅考慮收益是具有誤導性的，如下所示。在玩家第一次獲勝時（例如，在第次拋擲時），他將損失

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美元。然而，在這次拋擲中，他贏得了 美元。這意味著玩家的淨收益高達 2 美元，無論最終獲勝需要多少次拋擲。正如預期的那樣，在連續多次反面之後的大額收益與玩家必須投入的大量資金完全平衡。實際上，透過注意到在第次拋擲時獲勝的機率是 ，可以看出，獲勝所需的拋擲次數的機率分佈只是一個引數為 的幾何分佈。