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數字提取演算法

一種演算法，允許計算給定數字的數位，而無需計算之前的數位。用於 BBP 公式 的 pi 是此類演算法中最著名的，但對於 e 也存在一種演算法。

Plouffe (2022) 透過定義，給出了一個特別簡單的 pi 的十進位制數字提取演算法

pi_n=((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)(1-2^(-n))(1-3^(-n))(1-5^(-n))(1-7^(-n))))^(1/(2n)).
(1)

那麼，對於 n>=3，pi 的小數點右邊第 n 位數字由下式給出

d_n=int(10frac(10^(n-1)pi_(n-1)))
(2)

其中 int(x) 是整數部分，frac(x) 是小數部分。可以使用以下公式獲得類似的公式

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n)))^(1/(2n+1))=pi
(3)

和

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n))(1-1/(3^(2n+1))))^(1/(2n+1))=pi,
(4)

其中 E_n 是尤拉數，它給出了一個基數為 9（或二進位制）的數字提取公式 (Plouffe 2022)。對於 pi^2, pi^n, pi^(2n+1), e^pi, lnpi 和 sqrt(pi) 也可以獲得類似的結果 (Plouffe 2022)。

另請參閱

BBP 公式, Pi 的數字, Pi 公式

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參考文獻

Plouffe, S. “pi 和 pi^n 的第 n 個十進位制或二進位制數字的公式。” https://arxiv.org/abs/2201.12601. 2022 年 1 月 29 日。

在 中被引用

數字提取演算法

請引用為

Weisstein, Eric W. “數字提取演算法。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Digit-ExtractionAlgorithm.html

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