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Pi 公式

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關於 pi 有許多公式，型別繁多。 其中包括級數、乘積、幾何構造、極限、特殊值和 pi 迭代等。

pi 與圓和球體的性質密切相關。 對於半徑為 r r 的圓，其周長和麵積由下式給出

C=2pir
(1)
A=pir^2.
(2)

類似地，對於半徑為 r r 的球體，其表面積和體積分別為

S=4pir^2
(3)
V=4/3pir^3.
(4)

關於 pi 的精確公式，以 反正切 的 單位分數 表示，是 馬欽公式

1/4pi=4tan^(-1)(1/5)-tan^(-1)(1/(239)).
(5)

還有其他三個 類馬欽公式，以及數千個其他類似的具有更多項的公式。

GregorySeries

格雷戈裡和萊布尼茨發現

pi/4=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/(2k-1)
(6)
=1-1/3+1/5-...
(7)

（Wells 1986, p. 50），這被稱為 格雷戈裡級數，可以透過將 x=1 代入 萊布尼茨級數 tan^(-1)x 得到。 格雷戈裡級數 中此級數的第 n 項之後的誤差大於 (2n)^(-1)，因此該和收斂非常緩慢，以至於 300 項不足以正確計算 pi 到兩位小數！ 然而，它可以轉換為

pi=sum_(k=1)^infty(3^k-1)/(4^k)zeta(k+1),
(8)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式（Vardi 1991, pp. 157-158; Flajolet and Vardi 1996），因此 k 項之後的誤差為 approx (3/4)^k。

亞伯拉罕·夏普 (ca. 1717) 的一個無窮和級數由下式給出

pi=sum_(k=0)^infty(2(-1)^k3^(1/2-k))/(2k+1)
(9)

（Smith 1953, p. 311）。 其中出現 pi 的其他簡單級數為

1/4pisqrt(2)=sum_(k=1)^(infty)[((-1)^(k+1))/(4k-1)+((-1)^(k+1))/(4k-3)]
(10)
=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/(11)-...
(11)
1/4(pi-3)=sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/(2k(2k+1)(2k+2))
(12)
=1/(2·3·4)-1/(4·5·6)+1/(6·7·8)-...
(13)
1/6pi^2=sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)
(14)
=1+1/4+1/9+1/(16)+1/(25)+...
(15)
1/8pi^2=sum_(k=1)^(infty)1/((2k-1)^2)
(16)
=1+1/(3^2)+1/(5^2)+1/(7^2)+...
(17)

（Wells 1986, p. 53）。

1666 年，牛頓使用幾何構造推匯出公式

pi=3/4sqrt(3)+24int_0^(1/4)sqrt(x-x^2)dx
(18)
=(3sqrt(3))/4+24(1/(12)-1/(5·2^5)-1/(28·2^7)-1/(72·2^9)-...),
(19)

他用此公式計算 pi（Wells 1986, p. 50; Borwein et al. 1989; Borwein and Bailey 2003, pp. 105-106）。 係數可以從積分中找到

I(x)=intsqrt(x-x^2)dx
(20)
=1/4(2x-1)sqrt(x-x^2)-1/8sin^(-1)(1-2x)
(21)

透過取 I(x)-I(0) 在 0 附近的級數展開，得到

I(x)=2/3x^(3/2)-1/5x^(5/2)-1/(28)x^(7/2)-1/(72)x^(9/2)-5/(704)x^(11/2)+...
(22)

（OEIS A054387 和 A054388）。 使用尤拉的 收斂加速 變換得到

pi/2=1/2sum_(n=0)^(infty)((n!)^22^(n+1))/((2n+1)!)=sum_(n=0)^(infty)(n!)/((2n+1)!!)
(23)
=1+1/3+(1·2)/(3·5)+(1·2·3)/(3·5·7)+...
(24)
=1+1/3(1+2/5(1+3/7(1+4/9(1+...))))
(25)

（Beeler et al. 1972, Item 120）。

這對應於將 x=1/sqrt(2) 代入 冪級數 中的 超幾何函式 _2F_1(a,b;c;x)，

(sin^(-1)x)/(sqrt(1-x^2))=sum_(i=0)^infty((2x)^(2i+1)i!^2)/(2(2i+1)!)=_2F_1(1,1;3/2;x^2)x.
(26)

儘管進行了收斂加速，級數 (◇) 的收斂速度仍然只有每項 1 位。 以 平方根 為代價，Gosper 指出 x=1/2 給出每項 2 位，

1/9sqrt(3)pi=1/2sum_(i=0)^infty((i!)^2)/((2i+1)!),
(27)

而 x=sin(pi/10) 給出幾乎每項 3.39 位，

pi/(5sqrt(phi+2))=1/2sum_(i=0)^infty((i!)^2)/(phi^(2i+1)(2i+1)!),
(28)

其中 phi 是 黃金比例。 Gosper 還得到了

pi=3+1/(60)(8+(2·3)/(7·8·3)(13+(3·5)/(10·11·3)(18+(4·7)/(13·14·3)(23+...)))).
(29)

各種極限也收斂於 pi，一個簡單的例子是

lim_(n->infty)ncos((pi(n-2))/(2n))=pi.
(30)

更有趣的例子由下式給出

lim_(n->infty)((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)))^(1/(2n))=pi,
(31)

和

lim_(n->infty)((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)(1-2^(-n))(1-3^(-n))(1-5^(-n))(1-7^(-n))))^(1/(2n))=pi,
(32)

其中 B_n 是 伯努利數（Plouffe 2022）。 這些公式可以用作 pi 數字的 數字提取演算法。

Rabinowitz 和 Wagon (1995; Borwein and Bailey 2003, pp. 141-142) 給出了 pi 的 spigot 演算法。

Bailey et al. (Bailey et al. 1997, Adamchik and Wagon 1997) 發現了一個閉式表示式，給出了另一種 數字提取演算法，該演算法生成以 16 為基數的 pi（或 pi^2）的數字，

pi=sum_(n=0)^infty(4/(8n+1)-2/(8n+4)-1/(8n+5)-1/(8n+6))(1/(16))^n.
(33)

該公式被稱為 BBP 公式，是使用 PSLQ 演算法 (Ferguson et al. 1999) 發現的，等價於

pi=int_0^1(16y-16)/(y^4-2y^3+4y-4)dy.
(34)

存在一系列 BBP 型別公式，用於表示 pi，以 (-1)^k 的冪表示，其中前幾個獨立公式為

pi=4sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(2k+1)
(35)
=3sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/(6k+1)+1/(6k+5)]
(36)
=4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/(10k+1)-1/(10k+3)+1/(10k+5)-1/(10k+7)+1/(10k+9)]
(37)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[3/(14k+1)-3/(14k+3)+3/(14k+5)+4/(14k+7)+4/(14k+9)-4/(14k+11)+4/(14k+13)]
(38)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[2/(18k+1)+3/(18k+3)+2/(18k+5)-2/(18k+7)-2/(18k+11)+2/(18k+13)+3/(18k+15)+2/(18k+17)]
(39)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[3/(22k+1)-3/(22k+3)+3/(22k+5)-3/(22k+7)+3/(22k+9)+8/(22k+11)+3/(22k+13)-3/(22k+15)+3/(22k+17)-3/(22k+19)+1/(22k+21)].
(40)

類似地，存在一系列 BBP 型別公式，用於表示 pi，以 2^k 的冪表示，其中前幾個獨立公式為

pi=sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)[4/(8k+1)-2/(8k+4)-1/(8k+5)-1/(8k+6)]
(41)
=1/2sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)[8/(8k+2)+4/(8k+3)+4/(8k+4)-1/(8k+7)]
(42)
=1/(16)sum_(k=0)^(infty)1/(256^k)[(64)/(16k+1)-(32)/(16k+4)-(16)/(16k+5)-(16)/(16k+6)+4/(16k+9)-2/(16k+12)-1/(16k+13)-1/(16k+14)]
(43)
=1/(32)sum_(k=0)^(infty)1/(256^k)[(128)/(16k+2)+(64)/(16k+3)+(64)/(16k+4)-(16)/(16k+7)+8/(16k+10)+4/(16k+11)+4/(16k+12)-1/(16k+15)]
(44)
=1/(32)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(256)/(24k+2)+(192)/(24k+3)-(256)/(24k+4)-(96)/(24k+6)-(96)/(24k+8)+(16)/(24k+10)-4/(24k+12)-3/(24k+15)-6/(24k+16)-2/(24k+18)-1/(24k+20)]
(45)
=1/(64)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(256)/(24k+1)+(256)/(24k+2)-(384)/(24k+3)-(256)/(24k+4)-(64)/(24k+5)+(96)/(24k+8)+(64)/(24k+9)+(16)/(24k+10)+8/(24k+12)-4/(24k+13)+6/(24k+15)+6/(24k+16)+1/(24k+17)+1/(24k+18)-1/(24k+20)-1/(24k+21)]
(46)
=1/(96)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(256)/(24k+2)+(64)/(24k+3)+(128)/(24k+5)+(352)/(24k+6)+(64)/(24k+7)+(288)/(24k+8)+(128)/(24k+9)+(80)/(24k+10)+(20)/(24k+12)-(16)/(24k+14)-1/(24k+15)+6/(24k+16)-2/(24k+17)-1/(24k+19)+1/(24k+20)-2/(24k+21)]
(47)
=1/(96)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(256)/(24k+1)+(320)/(24k+3)+(256)/(24k+4)-(192)/(24k+5)-(224)/(24k+6)-(64)/(24k+7)-(192)/(24k+8)-(64)/(24k+9)-(64)/(24k+10)-(28)/(24k+12)-4/(24k+13)-5/(24k+15)+3/(24k+17)+1/(24k+18)+1/(24k+19)+1/(24k+21)-1/(24k+22)]
(48)
=1/(96)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(512)/(24k+1)-(256)/(24k+2)+(64)/(24k+3)-(512)/(24k+4)-(32)/(24k+6)+(64)/(24k+7)+(96)/(24k+8)+(64)/(24k+9)+(48)/(24k+10)-(12)/(24k+12)-8/(24k+13)-(16)/(24k+14)-1/(24k+15)-6/(24k+16)-2/(24k+18)-1/(24k+19)-1/(24k+20)-1/(24k+21)]
(49)
=1/(4096)sum_(k=0)^(infty)1/(65536^k)[(16384)/(32k+1)-(8192)/(32k+4)-(4096)/(32k+5)-(4096)/(32k+6)+(1024)/(32k+9)-(512)/(32k+12)-(256)/(32k+13)-(256)/(32k+14)+(64)/(32k+17)-(32)/(32k+20)-(16)/(32k+21)-(16)/(32k+22)+4/(32k+25)-2/(32k+28)-1/(32k+29)-1/(32k+30)]
(50)
=1/(4096)sum_(k=0)^(infty)1/(65536^k)[(32768)/(32k+2)+(16384)/(32k+3)+(16384)/(32k+4)-(4096)/(32k+7)+(2048)/(32k+10)+(1024)/(32k+11)+(1024)/(32k+12)-(256)/(32k+15)+(128)/(32k+18)+(64)/(32k+19)+(64)/(32k+20)-(16)/(32k+23)+8/(32k+26)+4/(32k+27)+4/(32k+28)-1/(32k+31)].
(51)

F. Bellard 發現了快速收斂的 BBP 型別公式

pi=1/(2^6)sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(2^(10n))(-(2^5)/(4n+1)-1/(4n+3)+(2^8)/(10n+1)-(2^6)/(10n+3)-(2^2)/(10n+5)-(2^2)/(10n+7)+1/(10n+9)).
(52)

一個相關的積分是

pi=(22)/7-int_0^1(x^4(1-x)^4)/(1+x^2)dx
(53)

（Dalzell 1944, 1971; Le Lionnais 1983, p. 22; Borwein, Bailey, and Girgensohn 2004, p. 3; Boros and Moll 2004, p. 125; Lucas 2005; Borwein et al. 2007, p. 14）。 該積分在 20 世紀 60 年代中期被 K. Mahler 知道，並出現在 1960 年 11 月悉尼大學的一次考試中（Borwein, Bailey, and Girgensohn, p. 3）。 Beukers (2000) 和 Boros 和 Moll (2004, p. 126) 指出，尚不清楚是否存在合理的有理多項式選擇，其在 0 到 1 之間的積分產生 pi-333/106，其中 333/106 是下一個收斂值。 然而，第四個收斂值存在一個積分，即

pi=(355)/(113)-1/(3164)int_0^1(x^8(1-x)^8(25+816x^2))/(1+x^2)dx.
(54)

（Lucas 2005; Bailey et al. 2007, p. 219）。 事實上，Lucas (2005) 給出了其他一些這樣的積分。

Backhouse (1995) 使用了恆等式

I_(m,n)=int_0^1(x^m(1-x)^n)/(1+x^2)dx
(55)
=2^(-(m+n+1))sqrt(pi)Gamma(m+1)Gamma(n+1)×_3F_2(1,(m+1)/2,(m+2)/2;(m+n+2)/2,(m+n+3)/2;-1)
(56)
=a+bpi+cln2
(57)

對於正整數 m 和 n，其中 a、b 和 c 是有理常數，以生成許多 pi 的公式。 特別是，如果 2m-n=0 (mod 4)，則 c=0 (Lucas 2005)。

Ferguson 隨後發現了一個類似的公式，從而產生了此類公式的二維格子，這些公式可以由以下兩個公式生成

pi=sum_(k=0)^infty((4+8r)/(8k+1)-(8r)/(8k+2)-(4r)/(8k+3)-(2+8r)/(8k+4)-(1+2r)/(8k+5)-(1+2r)/(8k+6)+r/(8k+7))(1/(16))^k
(58)

對於 r 的任何複數值（Adamchik 和 Wagon），BBP 公式 作為特殊情況 r=0。

PiFormulasWagonIdentity

Wagon 提出的一個更通用的恆等式由下式給出

pi+4tan^(-1)z+2ln((1-2z-z^2)/(z^2+1))=sum_(k=0)^infty1/(16^k)[(4(z+1)^(8k+1))/(8k+1)-(2(z+1)^(8k+4))/(8k+4)-((z+1)^(8k+5))/(8k+5)-((z+1)^(8k+6))/(8k+6)]
(59)

（Borwein and Bailey 2003, p. 141），它在 複平面 的一個區域內成立，該區域排除了關於 實軸 對稱放置的兩個三角形部分，如上圖所示。

一個可能更奇怪的通用恆等式類別由下式給出

pi=4sum_(j=1)^n((-1)^(j+1))/(2j-1)+((-1)^n(2n-1)!)/4sum_(k=0)^infty1/(16^k)[8/((8k+1)_(2n))-4/((8k+3)_(2n))-4/((8k+4)_(2n))-2/((8k+5)_(2n))+1/((8k+7)_(2n))+1/((8k+8)_(2n))]
(60)

對於任何正整數 n 成立，其中 (x)_n 是 波赫哈默爾符號（B. Cloitre，私人通訊，2005 年 1 月 23 日）。 更令人驚訝的是，對於 自然對數 2，存在一個非常類似的公式。

在發現以 16 為基數的數字 BBP 公式 和相關公式之後，研究了其他基數中的類似公式。 Borwein、Bailey 和 Girgensohn (2004) 最近表明，pi 沒有非二元的馬欽型 BBP 反正切公式，但這並不排除其他基數中 數字提取演算法 的完全不同的方案。

S. Plouffe 設計了一種演算法，用於計算任何基數中 n 位 數字 的 pi，步數為 O(n^3(logn)^3)。

Castellanos (1988ab, pp. 86-88) 給出了大量額外的恆等式，這些恆等式歸功於拉馬努金、卡塔蘭和牛頓，包括幾個涉及 斐波那契數 的和。 拉馬努金髮現

sum_(k=0)^infty((-1)^k(4k+1)[(2k-1)!!]^3)/([(2k)!!]^3)=sum_(k=0)^infty((-1)^k(4k+1)[Gamma(k+1/2)]^3)/(pi^(3/2)[Gamma(k+1)]^3)=2/pi
(61)

（Hardy 1923, 1924, 1999, p. 7）。

Plouffe (2006) 發現了美麗的公式

pi=72sum_(n=1)^infty1/(n(e^(npi)-1))-96sum_(n=1)^infty1/(n(e^(2npi)-1)) +24sum_(n=1)^infty1/(n(e^(4npi)-1)).
(62)
PiBlatnerProduct

尤拉提出的一個有趣的 無窮乘積 公式，它將 pi 與第 n 個 素數 p_n 聯絡起來，即

pi=2/(product_(n=1)^(infty)[1+(sin(1/2pip_n))/(p_n)])
(63)
=2/(product_(n=2)^(infty)[1+((-1)^((p_n-1)/2))/(p_n)])
(64)

（Blatner 1997, p. 119），如上圖所示，它是乘積項數的函式。

類似於阿基米德的方法可用於估計 pi，方法是從一個 n 邊形開始，然後關聯後續 2n 邊形的 面積。 令 beta 為一個 多邊形 的線段中心的 角，

beta=1/4(n-3)pi,
(65)

那麼

pi=(2sin(2beta))/((n-3)product_(k=0)^(infty)cos(2^(-k)beta))
(66)

（Beckmann 1989, pp. 92-94）。

Vieta (1593) 是第一個透過在上式中取 n=4 給出 pi 的精確表示式的人，給出

cosbeta=sinbeta=1/(sqrt(2))=1/2sqrt(2),
(67)

這導致 巢狀根式 的 無窮乘積，

2/pi=sqrt(1/2)sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2))sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2)))...
(68)

（Wells 1986, p. 50; Beckmann 1989, p. 95）。 然而，直到 1892 年 Rudio 才嚴格證明該表示式收斂。

一個相關公式由下式給出

pi=lim_(n->infty)2^(n+1)sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...+sqrt(2))))_()_(n)),
(69)

可以寫成

pi=lim_(n->infty)2^(n+1)pi_n,
(70)

其中 pi_n 是使用迭代定義的

pi_n=sqrt((1/2pi_(n-1))^2+[1-sqrt(1-(1/2pi_(n-1))^2)]^2)
(71)

其中 pi_0=sqrt(2) (J. Munkhammar，私人通訊，2000 年 4 月 27 日)。 公式

pi=2lim_(m->infty)sum_(n=1)^msqrt([sqrt(1-((n-1)/m)^2)-sqrt(1-(n/m)^2)]^2+1/(m^2))
(72)

也密切相關。

一個漂亮的 pi 公式由下式給出

pi=(product_(n=1)^(infty)(1+1/(4n^2-1)))/(sum_(n=1)^(infty)1/(4n^2-1)),
(73)

其中分子是 pi/2 的 沃利斯公式 的一種形式，分母是總和為 1/2 的 伸縮和，因為

1/(4n^2-1)=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
(74)

（Sondow 1997）。

沃利斯公式 的一個特例給出

pi/2=product_(n=1)^infty[((2n)^2)/((2n-1)(2n+1))]=(2·2)/(1·3)(4·4)/(3·5)(6·6)/(5·7)...
(75)

（Wells 1986, p. 50）。 該公式也可以寫成

lim_(n->infty)(2^(4n))/(n(2n; n)^2)=pilim_(n->infty)(n[Gamma(n)]^2)/([Gamma(1/2+n)]^2)=pi,
(76)

其中 (n; k) 表示 二項式係數，Gamma(x) 是 伽瑪函式（Knopp 1990）。 尤拉得到

pi=sqrt(6(1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+...)),
(77)

這來自 黎曼 zeta 函式 zeta(2)=pi^2/6 的特殊值。 對於所有 正整數 n，類似的 公式 來自 zeta(2n)。

拉馬努金提出的一個無窮和是

1/pi=sum_(n=0)^infty(2n; n)^3(42n+5)/(2^(12n+4))
(78)

（Borwein et al. 1989; Borwein and Bailey 2003, p. 109; Bailey et al. 2007, p. 44）。 拉馬努金 (1913-14) 給出了進一步的和，

4/pi=sum_(n=0)^infty((-1)^n(1123+21460n)(2n-1)!!(4n-1)!!)/(882^(2n+1)32^n(n!)^3)
(79)

和

1/pi=sqrt(8)sum_(n=0)^(infty)((1103+26390n)(2n-1)!!(4n-1)!!)/(99^(4n+2)32^n(n!)^3)
(80)
=(sqrt(8))/(9801)sum_(n=0)^(infty)((4n)!(1103+26390n))/((n!)^4396^(4n))
(81)

（Beeler et al. 1972, Item 139; Borwein et al. 1989; Borwein and Bailey 2003, p. 108; Bailey et al. 2007, p. 44）。 方程 (81) 源自 58 階的模恆等式，儘管 Borwein 和 Borwein (1987) 之前沒有提出第一個推導。 上述級數都給出

pi approx (9801)/(2206sqrt(2))=3.14159273001...
(82)

（Wells 1986, p. 54）作為第一個近似值，並且每項分別提供約 6 位和 8 位小數。 存在這樣的級數是因為各種模不變數的合理性。

級數的一般形式為

sum_(n=0)^infty[a(t)+nb(t)]((6n)!)/((3n)!(n!)^3)1/([j(t)]^n)=(sqrt(-j(t)))/pi,
(83)

其中 t 是 二元二次型判別式，j(t) 是 j 函式，

b(t)=sqrt(t[1728-j(t)])
(84)
a(t)=(b(t))/6{1-(E_4(t))/(E_6(t))[E_2(t)-6/(pisqrt(t))]},
(85)

而 E_i 是 艾森斯坦級數。 類數 p 場涉及常數 A=a(t)、B=b(t) 和 C=c(t) 的 p 次 代數整數。 在所有僅由整數項組成的級數中，在最短時間內給出最多數字的級數對應於最大的 類數 1 判別式 d=-163，由 Chudnovsky 兄弟 (1987) 提出。 此處出現的 163 與 e^(pisqrt(163))（拉馬努金常數）非常接近 整數 的事實中出現的 163 相同。 類似地，因子 640320^3 來自 j 函式 恆等式 j(1/2(1+isqrt(163)))。 該級數由下式給出

1/pi=12sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(6n)!(13591409+545140134n))/((n!)^3(3n)!(640320^3)^(n+1/2))
(86)
=(163·8·27·7·11·19·127)/(640320^(3/2))sum_(n=0)^(infty)((13591409)/(163·2·9·7·11·19·127)+n)((6n)!)/((3n)!(n!)^3)((-1)^n)/(640320^(3n))
(87)

（Borwein and Borwein 1993; Beck and Trott; Bailey et al. 2007, p. 44）。 此級數每項精確給出 14 位數字。 Chudnovsky 兄弟 (1987) 給出了另一個形式的相同方程，Wolfram 語言 使用該方程來計算 pi（Vardi 1991; ），

pi=(426880sqrt(10005))/(A[_3F_2(1/6,1/2,5/6;1,1;B)-C_3F_2(7/6,3/2,(11)/6;2,2;B)]),
(88)

其中

A=13591409
(89)
B=-1/(151931373056000)
(90)
C=(30285563)/(1651969144908540723200).
(91)

類數 2 的最佳公式（最大判別式 -427）是

1/pi=12sum_(n=0)^infty((-1)^n(6n)!(A+Bn))/((n!)^3(3n)!C^(n+1/2)),
(92)

其中

A=212175710912sqrt(61)+1657145277365
(93)
B=13773980892672sqrt(61)+107578229802750
(94)
C=[5280(236674+30303sqrt(61))]^3
(95)

（Borwein and Borwein 1993）。 此級數每增加一項，就會增加約 25 位數字。 類數 3 的最快收斂級數對應於 d=-907，每項給出 37-38 位數字。 類數 4 的最快收斂級數對應於 d=-1555，即

(sqrt(-C^3))/pi=sum_(n=0)^infty((6n)!)/((3n)!(n!)^3)(A+nB)/(C^(3n)),
(96)

其中

A=63365028312971999585426220+28337702140800842046825600sqrt(5)+384sqrt(5)(10891728551171178200467436212395209160385656017+4870929086578810225077338534541688721351255040sqrt(5))^(1/2)
(97)
B=7849910453496627210289749000+3510586678260932028965606400sqrt(5)+2515968sqrt(3110)(6260208323789001636993322654444020882161+2799650273060444296577206890718825190235sqrt(5))^(1/2)
(98)
C=-214772995063512240-96049403338648032sqrt(5)-1296sqrt(5)(10985234579463550323713318473+4912746253692362754607395912sqrt(5))^(1/2).
(99)

每項給出 50 位數字。 Borwein 和 Borwein (1993) 開發了一種通用 演算法，用於為任意 類數 生成此類級數。

Berndt (1994, pp. 352-354) 給出了拉馬努金的第二個和第三個筆記本中發現的 1/pi 級數的完整列表，

4/pi=sum_(n=0)^(infty)((6n+1)(1/2)_n^3)/(4^n(n!)^3)
(100)
(16)/pi=sum_(n=0)^(infty)((42n+5)(1/2)_n^3)/(64^n(n!)^3)
(101)
(32)/pi=sum_(n=0)^(infty)((42sqrt(5)n+5sqrt(5)+30n-1)(1/2)_n^3)/(64^n(n!)^3)((sqrt(5)-1)/2)^(8n)
(102)
(27)/(4pi)=sum_(n=0)^(infty)((15n+2)(1/2)_n(1/3)_n(2/3)_n)/((n!)^3)(2/(27))^n
(103)
(15sqrt(3))/(2pi)=sum_(n=0)^(infty)((33n+4)(1/2)_n(1/3)_n(2/3)_n)/((n!)^3)(4/(125))^n
(104)
(5sqrt(5))/(2pisqrt(3))=sum_(n=0)^(infty)((11n+1)(1/2)_n(1/6)_n(5/6)_n)/((n!)^3)(4/(125))^n
(105)
(85sqrt(85))/(18pisqrt(3))=sum_(n=0)^(infty)((133n+8)(1/2)_n(1/6)_n(5/6)_n)/((n!)^3)(4/(85))^(3n)
(106)
4/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(20n+3)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^32^(2n+1))
(107)
4/(pisqrt(3))=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(28n+3)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^33^n4^(2n+1))
(108)
4/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(260n+23)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^3(18)^(2n+1))
(109)
4/(pisqrt(5))=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(644n+41)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^35^n(72)^(2n+1))
(110)
4/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(21460n+1123)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^3(882)^(2n+1))
(111)
(2sqrt(3))/pi=sum_(n=0)^(infty)((8n+1)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^39^n)
(112)
1/(2pisqrt(2))=sum_(n=0)^(infty)((10n+1)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^39^(2n+1))
(113)
1/(3pisqrt(3))=sum_(n=0)^(infty)((40n+3)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^3(49)^(2n+1))
(114)
2/(pisqrt(11))=sum_(n=0)^(infty)((280n+19)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^3(99)^(2n+1))
(115)
1/(2pisqrt(2))=sum_(n=0)^(infty)((26390n+1103)(1/2)_n(1/4)_n(3/4)_n)/((n!)^3(99)^(4n+2)).
(116)

Borwein 和 Borwein (1987a, pp. 177-187) 首先證明了這些方程。 Borwein 和 Borwein (1987b, 1988, 1993) 證明了其他型別的方程，而 Chudnovsky 和 Chudnovsky (1987) 發現了其他超越常數的類似方程（Bailey et al. 2007, pp. 44-45）。

已知獨立方程的完整列表如下所示

4/pi=sum_(n=0)^(infty)((6n+1)(1/2)_n^3)/(4^n(n!)^3)
(117)
(16)/pi=sum_(n=0)^(infty)((42n+5)(1/2)_n^3)/(64^n(n!)^3)
(118)
(32)/pi=sum_(n=0)^(infty)((42sqrt(5)n+5sqrt(5)+30n-1)(1/2)_n^3)/(64^n(n!)^3)((sqrt(5)-1)/2)^(8n)
(119)
(5^(1/4))/pi=sum_(n=0)^(infty)((540sqrt(5)n-1200n-525+235sqrt(5))(1/2)_n^3(sqrt(5)-2)^(8n))/((n!)^3)
(120)
(12^(1/4))/pi=sum_(n=0)^(infty)((24sqrt(3)n-36n-15+9sqrt(3))(1/2)_n^3(2-sqrt(3))^(4n))/((n!)^3)
(121)

對於 m=1，符號非交替，

2/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^3(12sqrt(2)n-12n-5+4sqrt(2))(sqrt(2)-1)^(4n))/((n!)^3)
(122)
2/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^3(60n-24sqrt(5)n+23-10sqrt(5))(sqrt(5)-2)^(4n))/((n!)^3)
(123)
2/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^3(420n-168sqrt(6)n+177-72sqrt(6)))/((n!)^3)
(124)
(2sqrt(2))/pi=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^3(2sqrt(2))^(2n))/((n!)^3)
(125)

對於 m=1，符號交替，

(128)/(pi^2)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^5(820n^2+180n+13))/(32^(2n)(n!)^5)
(126)
(32)/(pi^2)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(1/2)_n^5(20n^2+8n+1))/(2^(2n)(n!)^5)
(127)

對於 m=2 (Guillera 2002, 2003, 2006)，

(32)/(pi^3)=sum_(n=0)^infty((1/2)_n^7(168n^3+76n^2+14n+1))/(32^(2n)(n!)^5)
(128)

對於 m=3 (Guillera 2002, 2003, 2006)，並且對於 m>3 沒有其他已知的（Bailey et al. 2007, pp. 45-48）。

Bellard 給出了奇異公式

pi=1/(740025)[sum_(n=1)^infty(3P(n))/((7n; 2n)2^(n-1))-20379280],
(129)

其中

P(n)=-885673181n^5+3125347237n^4-2942969225n^3+1031962795n^2-196882274n+10996648.
(130)

Gasper 引用了結果

pi=(16)/3[lim_(x->infty)x_1F_2(1/2;2,3;-x^2)]^(-1),
(131)

其中 _1F_2 是 廣義超幾何函式，並將其轉換為

pi=lim_(x->infty)4x_1F_2(1/2;3/2,3/2;-x^2).
(132)

Gosper 提出的一個引人入勝的結果由下式給出

lim_(n->infty)product_(i=n)^(2n)pi/(2tan^(-1)i)=4^(1/pi)=1.554682275....
(133)

pi 滿足 不等式

(1+1/pi)^(pi+1) approx 3.14097<pi.
(134)

D. Terr（私人通訊）注意到一個有趣的恆等式

(3,1,4)=(1,5,9)+(2,6,5) (mod 10)
(135)

涉及 pi 的前 9 位數字。

另請參閱

BBP 公式、數字提取演算法、Pi、Pi 近似值、Pi 連分數、Pi 數字、Pi 迭代、Pi 平方、Spigot 演算法

使用 探索

WolframAlpha

更多嘗試

參考文獻

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在 中引用

Pi 公式

引用為

Weisstein, Eric W. "Pi 公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PiFormulas.html

學科分類