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艾森斯坦級數

一個具有 半週期比 tau 和指標 r 的艾森斯坦級數定義為

G_r(tau)=sum^'_(m=-infty)^inftysum^'_(n=-infty)^infty1/((m+ntau)^r),
(1)

其中求和 sum^(') 排除了 m=n=0, I[tau]>0, 且 r>2 是一個整數 (Apostol 1997, p. 12)。

艾森斯坦級數滿足以下顯著性質

G_(2r)((atau+b)/(ctau+d))=(ctau+d)^(2r)G_(2r)(tau)
(2)

如果矩陣 [a b; c d] 在 特殊線性群 SL_n(Z) 中 (Serre 1973, pp. 79 和 83)。 因此，G_(2r) 是權重為 2r 的模形式 (Serre 1973, p. 83)。

此外，每個艾森斯坦級數都可以表示為橢圓不變數 g_2 和 g_3 的多項式，這些橢圓不變數是具有正有理係數的魏爾斯特拉斯橢圓函式的橢圓不變數 (Apostol 1997)。

艾森斯坦級數滿足

G_(2k)(tau)=2zeta(2k)+(2(2pii)^(2k))/((2k-1)!)sum_(n=1)^inftysigma_(2k-1)(n)e^(2piintau),
(3)

其中 zeta(z) 是黎曼zeta函式，sigma_k(n) 是除數函式 (Apostol 1997, pp. 24 和 69)。 將nome q 寫成

q=e^(pitaui)=e^(-piK^'(k)/K(k))
(4)

其中 K(k) 是第一類完全橢圓積分, K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)), k 是橢圓模量, 並定義

E_(2k)(q)=(G_(2k)(tau))/(2zeta(2k)),
(5)

我們有

E_(2n)(q)=1+c_(2n)sum_(k=1)^(infty)(k^(2n-1)q^(2k))/(1-q^(2k))
(6)
=1+c_(2n)sum_(k=1)^(infty)sigma_(2n-1)(k)q^(2k).
(7)

其中

c_(2n)=((2pii)^(2n))/((2n-1)!zeta(2n))
(8)
=(-1)^n((2pi)^(2n))/(Gamma(2n)zeta(2n))
(9)
=-(4n)/(B_(2n)),
(10)

其中 B_n 是伯努利數。 對於 n=1, 2, ..., c_(2n) 的前幾個值是 -24, 240, -504, 480, -264, 65520/691, ... (OEIS A006863 和 A001067)。

因此，E_(2n)(q) 的前幾個值是

E_2(q)=1-24sum_(k=1)^(infty)sigma_1(k)q^(2k)
(11)
E_4(q)=1+240sum_(k=1)^(infty)sigma_3(k)q^(2k)
(12)
E_6(q)=1-504sum_(k=1)^(infty)sigma_5(k)q^(2k)
(13)
E_8(q)=1+480sum_(k=1)^(infty)sigma_7(k)q^(2k)
(14)
E_(10)(q)=1-264sum_(k=1)^(infty)sigma_9(k)q^(2k)
(15)
E_(12)(q)=1+(65520)/(691)sum_(k=1)^(infty)sigma_(11)(k)q^(2k)
(16)
E_(14)(q)=1-24sum_(k=1)^(infty)sigma_(13)(k)q^(2k),
(17)

(Apostol 1997, p. 139)。 拉馬努金使用了符號 P(z)=E_2(sqrt(z)), Q(z)=E_4(sqrt(z)), 和 R(z)=E_6(sqrt(z)), 這些函式滿足以下微分方程組

thetaP=1/(12)(P^2-Q)
(18)
thetaQ=1/3(PQ-R)
(19)
thetaR=1/2(PR-Q^2)
(20)

(Nesterenko 1999)，其中 theta=zd/dz 是微分運算元。

E_(2n)(q) 也可以用第一類完全橢圓積分 K(k) 表示為

E_4(q)=[(2K(k))/pi]^4(1-k^2k^('2))
(21)
E_6(q)=[(2K(k))/pi]^6(1-2k^2)(1+1/2k^2k^('2))
(22)

(Ramanujan 1913-1914)，其中 k 是橢圓模量。 拉馬努金使用符號 M(q) 和 N(q) 分別指代 E_4(q) 和 E_6(q)。

漂亮的公式由下式給出

E_4(q)=1/2[theta_2^8(q)+theta_3^8(q)+theta_4^8(q)]
(23)
E_8(q)=1/2[theta_2^(16)(q)+theta_3^(16)(q)+theta_4^(16)(q)],
(24)

其中 theta_n(q)=theta_n(0,q) 是雅可比theta函式。

下表給出了前幾個偶數 n 的艾森斯坦級數 E_n(q)。

nOEIS格E_n(q)
2A0063521-24q^2-72q^4-96q^6-168q^8-...
4A004009E_81+240q^2+2160q^4+6720q^6+...
6A0139731-504q^2-16632q^4-122976q^6-...
8A008410E_8 direct sum E_81+480q^2+61920q^4+1050240q^6+...
10A0139741-264q^2-135432q^4-5196576q^6-...

符號 L(q) 有時用於指代密切相關的函式

L(q)=1+24sum_(k=1)^(infty)sigma_1^((o))(n)(-1)^kq^k
(25)
=1-24sum_(k=1)^(infty)((2k-1)q^(2k-1))/(1+q^(2k-1))
(26)
=theta_4^4(q)-theta_2^4(q)
(27)
=[(2K(k))/pi]^2(1-2k^2)
(28)
=1-24q+24q^2-96q^3+...
(29)

(OEIS A103640)，其中 theta_i(q) 是雅可比橢圓函式，並且

sigma_1^((o))(n)=sum_(d|n; d odd)d
(30)

是奇除數函式 (Ramanujan 2000, p. 32)。

另請參閱

除數函式, 橢圓不變數, 克萊因絕對不變數, 李奇格, 圓周率, Theta級數, 魏爾斯特拉斯橢圓函式

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "The Eisenstein Series and the Invariants g_2 and g_3" and "The Eisenstein Series G_2(tau)." §1.9 和 3.10 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd 版. New York: Springer-Verlag, pp. 12-13 和 69-71, 1997.Borcherds, R. E. "Automorphic Forms on O_(s+2,2)(R)^+ and Generalized Kac-Moody Algebras." In Proc. Internat. Congr. Math., Vol. 2. pp. 744-752, 1994.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Class Number Three Ramanujan Type Series for 1/pi." J. Comput. Appl. Math. 46, 281-290, 1993.Bump, D. Automorphic Forms and Representations. Cambridge, England: 劍橋大學出版社, p. 29, 1997.Conway, J. H. and Sloane, N. J. A. Sphere Packings, Lattices, and Groups, 2nd 版. New York: Springer-Verlag, pp. 119 和 123, 1993.Coxeter, H. S. M. "Integral Cayley Numbers."The Beauty of Geometry: Twelve Essays. New York: Dover, pp. 20-39, 1999.Gunning, R. C. Lectures on Modular Forms. Princeton, NJ: 普林斯頓大學出版社, p. 53, 1962.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd 版. New York: Chelsea, p. 166, 1999.Milne, S. C. "Hankel Determinants of Eisenstein Series." 13 Sep 2000. http://arxiv.org/abs/math.NT/0009130.Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. 未發表的手稿. 1999.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Serre, J.-P. A Course in Arithmetic. New York: Springer-Verlag, 1973.Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Sloane, N. J. A. Sequences A001067, A004009/M5416, A006863/M5150, A008410, A013973, A013974, and A103640 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

艾森斯坦級數

引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "艾森斯坦級數。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/EisensteinSeries.html

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