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克萊因絕對不變數

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設 omega_1 和 omega_2 是一個雙週期函式的週期，其中 tau=omega_2/omega_1 是半週期比率，且滿足 I[tau]!=0。那麼克萊因絕對不變數（也稱為克萊因模函式）定義為

J(omega_1,omega_2)=(g_2^3(omega_1,omega_2))/(Delta(omega_1,omega_2)),
(1)

其中 g_2 和 g_3 是魏爾斯特拉斯橢圓函式的不變數，具有模判別式

Delta=g_2^3-27g_3^2
(2)

(克萊因 1877)。如果 tau in H, 其中 H 是上半平面, 則

J(tau)=J(1,tau)=J(omega_1,omega_2)
(3)

是僅關於比率 tau 的函式，g_2, g_3, 和 Delta 也是如此。此外，g_2(tau), g_3(tau), Delta(tau), 和 J(tau) 在 H 中是解析的 (Apostol 1997, p. 15)。

克萊因絕對不變數在 Wolfram 語言中實現為KleinInvariantJ[tau]。

函式 J(tau) 與 j-函式相同，模一個常數乘法因子。

每個 J 的有理函式都是模函式，並且每個模函式都可以表示為 J 的有理函式 (Apostol 1997, p. 40)。

克萊因不變數可以顯式地由下式給出

J(tau)=4/(27)([1-lambda(tau)+lambda^2(tau)]^3)/(lambda^2(tau)[1-lambda(tau)]^2)
(4)
=([E_4(tau)]^3)/([E_4(tau)]^3-[E_6(tau)^2])
(5)

(克萊因 1878-1879，科恩 1994)，其中 lambda(tau) 是橢圓 lambda 函式

lambda(tau)=[(theta_2(0,q))/(theta_3(0,q))]^4,
(6)

theta_i(0,q) 是雅可比 theta 函式，E_i(tau) 是艾森斯坦級數，並且 q 是 nome。克萊因不變數也可以用五個韋伯函式 f(tau), f_1(tau), f_2(tau), gamma_2(tau), 和 gamma_3(tau) 簡單地表示。

J(tau) 在單模變換下是不變的，因此

J((atau+b)/(ctau+d))=J(tau),
(7)

並且 J(tau) 是一個模函式。J(tau) 取以下特殊值

J(rho=e^(2pii/3))=0
(8)
J(i)=1
(9)
J(iinfty)=infty.
(10)

J(tau) 滿足以下函式方程

J(tau)=J(tau+1)
(11)
J(tau)=J(-1/tau).
(12)

它滿足許多優美的多引數恆等式，包括倍增公式

J(tau)=f(t)
(13)
J(2tau)=f(1/t)
(14)

其中

t=1/(64)[(eta(tau))/(eta(2tau))]^(24)
(15)
f(u)=((u+4)^3)/(27u^2)
(16)

並且 eta(z) 是戴德金 eta 函式，三倍增公式

J(tau)=g(t)
(17)
J(3tau)=g(1/t),
(18)

其中

t=1/(27)[(eta(tau))/(eta(3tau))]^(12)
(19)
g(u)=((u+1)(u+9)^3)/(64u^3),
(20)

和五倍增公式

1728J(tau)=h(t)
(21)
1728J(5tau)=h(5/t),
(22)

其中

t=1/5[(eta(tau))/(eta(5tau))]^6
(23)
h(u)=(5(u^2+50u+125)^3)/(u^5).
(24)
KleinsAbsoluteInvariantPic

在複平面中繪製 J(tau) 的實部或虛部會產生美麗的類似分形的結構，如上圖所示。

另請參閱

橢圓 Lambda 函式, 艾森斯坦級數, j-函式, 雅可比 Theta 函式, Pi, 韋伯函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/KleinInvariantJ/

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "克萊因模函式 J(tau)," "J 在單模變換下的不變性," "Delta(tau) 和 J(tau) 的傅立葉展開," "J 的特殊值," 和 "模函式作為 J 的有理函式." §1.12-1.13, 1.15, 和 2.5-2.6 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 15-18, 20-22, 和 39-40, 1997.Brezhnev, Y. V. "均勻化：關於 Burnside 曲線 y^2=x^5-x." 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 115 和 179, 1987.Cohn, H. Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Dover, p. 73, 1994.Klein, F. "Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [關於橢圓函式]." Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser. 2 10, 1877.Klein, F. "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades." Math. Ann. 14, 111-172, 1878-1879.Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. Unpublished manuscript. 1999.

在 中被引用

克萊因絕對不變數

請引用為

Weisstein, Eric W. "克萊因絕對不變數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/KleinsAbsoluteInvariant.html

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