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格雷戈裡級數

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GregorySeries

格雷戈裡級數是由格雷戈裡和萊布尼茨發現的 pi 公式，透過代入 x=1 到 萊布尼茨級數 得到，

pi/4=sum_(k=1)^infty((-1)^(k+1))/(2k-1)=1-1/3+1/5-...
(1)

（Wells 1986, p. 50）。這個公式收斂速度非常慢，但其收斂速度可以使用某些變換來加速，特別是

pi=sum_(k=1)^infty(3^k-1)/(4^k)zeta(k+1),
(2)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函式 (Vardi 1991)。

取部分級數得到解析結果

4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi+(-1)^N[psi_0(1/4+1/2N)-psi_0(3/4+1/2N)].
(3)

令人驚訝的是，關於無窮大展開得到級數

4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi-(-1)^Nsum_(k=0)^infty(E_(2k))/(4^kN^(2k+1))
(4)

（Borwein 和 Bailey 2003, p. 50），其中 E_n 是 尤拉數。這意味著在 10 的大冪的一半處截斷格雷戈裡級數可以得到 pi 的十進位制展開，其十進位制數字在很大程度上是正確的，但錯誤數字以精確的規律出現。例如，取 N=5×10^6 得到

GregorySeriesDigits

其中差異序列正好是尤拉（正割）數的兩倍。事實上，早在截斷級數的閉合形式已知之前，J. R. North 在 1988 年就觀察到了這種數字模式（Borwein 和 Bailey 2003, p. 49; Borwein et al. 2004, p. 29）。

另請參閱

格雷戈裡公式, 萊布尼茨級數, 馬青公式, 類馬青公式, 墨卡託級數, Pi 公式

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. 和 Bailey, D. "格雷戈裡級數中的一個奇怪的異常現象。" §2.2 in 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 48-50, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. "重新審視格雷戈裡級數。" §1.8.1 in 數學實驗：通往發現的計算路徑。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 28-30, 2004.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Dilcher, K. "Pi、尤拉數和漸近展開。" Amer. Math. Monthly 96, 681-687, 1989.Vardi, I. Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 157-158, 1991.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 50, 1986.

在 中被引用

格雷戈裡級數

引用為

Weisstein, Eric W. "格雷戈裡級數。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/GregorySeries.html

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