Machin類公式具有以下形式
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(1)
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其中 
、 
和 
是正整數，
和 
是非負整數。一些這樣的公式可以透過轉換 Todd (1949) 表格中 
的反切線分解為反餘切來找到。然而，這僅給出最小項為 
的 Machin 類公式。
廣義 Machin 類公式，其中餘切函式的自變數是有理數，包括尤拉的
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(2)
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(Lehmer 1938, Wetherfield 1996)，平方根例如
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(3)
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甚至混合二次無理數 (Lehmer 1938) 也被考慮過。
一個平凡的單項 Machin 類公式由以下恆等式給出
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(4)
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雙項 Machin 類公式可以透過寫作推匯出來
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(5)
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並尋找 
和 
使得
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(6)
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因此
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(7)
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Machin 類公式存在 當且僅當 (7) 在整數中有一個解。這等價於找到正整數值 
、 
和 
以及整數值 
和 
使得
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(8)
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這發生 當且僅當
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(9)
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是實數 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 345)。另一個等價的表述是找到以下方程之一的所有整數解
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(10)
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(11)
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對於 
, 5, ....
只有四個這樣的雙項公式，
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(12)
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(13)
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(14)
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(15)
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被稱為馬青公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 105)、尤拉類馬青公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 105)、赫爾曼公式和赫頓公式。這些公式源自以下恆等式
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(16)
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(17)
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(18)
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(19)
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三項 Machin 類公式包括高斯類馬青公式
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(20)
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(21)
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Dase 曾使用過此公式 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 106)，以及以下公式
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(22)
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(23)
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(24)
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(25)
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(26)
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第一個公式歸功於 Størmer，第二個公式歸功於 Rutherford，最後一個公式出現在 Borwein 和 Bailey (2003, p. 107) 中。然而，還有許多其他這樣的公式，Weisstein 共列出了 105 個。
Weisstein 共列出了 90 個五項 Machin 類公式，包括 Borwein 和 Bailey (2003, pp. 62 和 111) 給出的兩個公式
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(27)
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(28)
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其中第一個公式由高中教師 K. Takano 於 1982 年發現，第二個公式 Störmer 早在 1896 年就已知道。
使用三角恆等式，例如
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(29)
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可以生成無限個 Machin 類公式序列。因此，系統搜尋通常集中在具有特別“好”的屬性（例如“效率”）的公式上。
廣義 Machin 類公式（可能具有有理數、二次無理數或其他反餘切自變數）的效率是使用反餘切的冪級數計算 
所需的時間，冪級數由下式給出
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(30)
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並且可以使用 Lehmer 的“測度”公式粗略地表徵
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(31)
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(Lehmer 1938)。達到給定精度所需的項數大致與 
成正比，因此較低的 
值對應於更好的和。目前已知的最佳效率為 1.51244，這是由 6 項級數實現的
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(32)
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由 C.-L. Hwang (1997) 發現。Hwang (1997) 還發現了以下非凡的恆等式
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(33)
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其中 
、 
、 
、 
和 
是正整數，並且
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(34)
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下表給出了 Weisstein 彙編中 
項 Machin 類公式的數量 
。除了先前已知的恆等式（已包括在內），納入標準如下
1. 首項 
位數字：測度 
。
2. 首項 = 8 位數字：測度 
。
3. 首項 = 9 位數字：測度 
。
4. 首項 = 10 位數字：測度 
。
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| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 4 | 1.85113 |
| 3 | 106 | 1.78661 |
| 4 | 39 | 1.58604 |
| 5 | 90 | 1.63485 |
| 6 | 120 | 1.51244 |
| 7 | 113 | 1.54408 |
| 8 | 18 | 1.65089 |
| 9 | 4 | 1.72801 |
| 10 | 78 | 1.63086 |
| 11 | 34 | 1.6305 |
| 12 | 188 | 1.67458 |
| 13 | 37 | 1.71934 |
| 14 | 5 | 1.75161 |
| 15 | 24 | 1.77957 |
| 16 | 51 | 1.81522 |
| 17 | 5 | 1.90938 |
| 18 | 570 | 1.87698 |
| 19 | 1 | 1.94899 |
| 20 | 11 | 1.95716 |
| 21 | 1 | 1.98938 |
| 總計 | 1500 | 1.51244 |
." 
." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938.Lewin, L. 
, 
, ..., 
, 
, ..., 
de l'Equation...." Archiv for Mathematik og Naturvidenskab B 19, 75-85, 1896.Todd, J. "A Problem on Arc Tangent Relations." Amer. Math. Monthly 56, 517-528, 1949.Wetherfield, M. "The Enhancement of Machin's Formula by Todd's Process." Math. Gaz. 80, 333-344, 1996.Wetherfield, M. "Machin Revisited." Math. Gaz. 81, 121-123, 1997.