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斐波那契數

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斐波那契數是由 線性遞推方程

F_n=F_(n-1)+F_(n-2)
(1)

且 F_1=F_2=1。根據定義 (1)，通常定義 F_0=0。

對於 n=1，斐波那契數為 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (OEIS A000045)。

斐波那契數可以看作是 斐波那契多項式 F_n(x) 在 F_n=F_n(1) 時的特例。

斐波那契數在 Wolfram 語言 中被實現為Fibonacci[n].

斐波那契數也是一個 盧卡斯序列 U_n(1,-1)，並且是 盧卡斯數 的伴隨序列（它們滿足相同的 遞推方程）。

FoxTrot by Bill Amend

上面的漫畫（Amend 2005）展示了斐波那契數的一種非常規體育應用（左邊兩格）。（右邊一格應用的是 佩蘭序列）。

前八個斐波那契數的一個亂序版本 13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5 (OEIS A117540) 出現在 D. Brown 的小說《達·芬奇密碼》（Brown 2003, pp. 43, 60-61, and 189-192）中，作為被謀殺的博物館館長 Jacque Saunière 留下的線索之一。在電視劇 數字追兇 第一季的劇集 "破壞" (2005) 中，數學天才 Charlie Eppes 提到在晶體的結構、星系的螺旋以及鸚鵡螺殼中都發現了斐波那契數。在 CBS-TV 犯罪劇 "犯罪心理" 第四季的劇集 "傑作" (2008) 中，FBI 行為分析小組的特工們遇到了一位連環殺手，他使用斐波那契數列來確定每次殺戮事件的受害者人數。在這一集中，角色 Dr. Reid 還注意到，殺戮地點位於 黃金螺線 的圖上，前往螺旋中心使 Reid 能夠確定兇手的行動基地位置。

Binary plot of the Fibonacci sequence

上面的圖表顯示了斐波那契數列的前 511 項的二進位制表示，揭示了一個有趣的空心和實心三角形圖案（Pegg 2003）。底部邊緣出現了一個類似分形結構的白色三角形系列，部分原因是 F_(2^n+2^(n+1)) 的二進位制表示以 n+2 個零結尾。還存在許多其他類似的性質。

斐波那契數給出了 n 個月後兔子的對數，從最初的一對開始繁殖算起（假設新生的兔子在兩個月大時開始繁殖），正如比薩的列奧納多（也稱為斐波那契）在他的著作《Liber Abaci》中所描述的那樣。開普勒也描述了斐波那契數（Kepler 1966; Wells 1986, pp. 61-62 和 65）。在斐波那契撰寫他的著作之前，印度學者如 Gopāla（1135 年之前）和 Hemachandra（約 1150 年）已經討論過斐波那契數，他們長期以來對由一拍和兩拍音符或音節組成的節奏模式感興趣。具有 n 拍的總節奏數是 F_(n+1)，因此這些學者都明確提到了數字 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (Knuth 1997, p. 80)。

小於 10, 10^2, 10^3, ... 的斐波那契數的數量分別為 6, 11, 16, 20, 25, 30, 35, 39, 44, ... (OEIS A072353)。對於 n=1, 2, ..., F_(10^n) 中十進位制數字的數量分別為 2, 21, 209, 2090, 20899, 208988, 2089877, 20898764, ... (OEIS A068070)。可以看出，初始數字串穩定下來，產生數字 208987640249978733769...，這對應於 lnphi=0.2089876... 的十進位制數字 (OEIS A097348)，其中 phi 是 黃金比例。這源於對於任何冪函式 f_n=c^n，f_(10^n) 的十進位制數字數量由 10^nlog_(10)c 給出。

斐波那契數 F_n，對於 n=6, 12, 18, 24, 25, 30, 36, 42, 48, 50, 54, 56, 60, 66, ..., 372, 375, 378, 384, ... (OEIS A037917) 是 平方數豐富的，對於 n=1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, ... (OEIS A037918) 是 無平方因子的。4|F_(6n) 且 25|F_(25n) 對於所有 n 成立，並且至少存在一個 n<=2m 使得 m|F_n。沒有已知的 平方數豐富的 斐波那契數 F_p，其中 p 為 素數。

連續斐波那契數的比率 F_n/F_(n-1) 隨著 n 趨近於無窮大而接近 黃金比例 phi，蘇格蘭數學家 Robert Simson 於 1753 年首次證明了這一點 (Wells 1986, p. 62)。交替斐波那契數的比率由 收斂子 給出，趨近於 phi^(-2)，其中 phi 是 黃金比例，並且據說衡量了植物莖上連續葉片之間的轉動分數（葉序學）：榆樹和椴樹為 1/3，山毛櫸和榛樹為 2/5，橡樹和蘋果樹為 3/8，楊樹和玫瑰為 5/13，柳樹和杏樹等 (Coxeter 1969, Ball and Coxeter 1987)。斐波那契數有時被稱為松果數 (Pappas 1989, p. 224)。斐波那契數在植物學中的作用有時被稱為路德維希定律 (Szymkiewicz 1928; Wells 1986, p. 66; Steinhaus 1999, p. 299)。然而，植物學家 Cooke 建議在植物學和斐波那契數列之間建立聯絡時要謹慎 (Peterson 2006)。

方程 (◇) 是一個 線性遞推方程

x_n=Ax_(n-1)+Bx_(n-2) n>=3,
(2)

因此 F_n 的閉式解由下式給出

F_n=(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta),
(3)

其中 alpha 和 beta 是 x^2=Ax+B 的根。這裡，A=B=1，所以方程變為

x^2-x-1=0,
(4)

其 根 為

x=1/2(1+/-sqrt(5)).
(5)

因此，閉式解由下式給出

F_n=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^nsqrt(5)).
(6)

這被稱為 比內公式 (Wells 1986, p. 62)。另一個閉式解為

F_n=[1/(sqrt(5))((1+sqrt(5))/2)^n]
(7)
=[(phi^n)/(sqrt(5))],
(8)

其中 [x] 是 最接近整數函式 (Wells 1986, p. 62)。

Fibonacci

使用方程 (7)，F_n 的定義可以根據下式擴充套件到負整數 n

F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n.
(9)

更一般地，斐波那契數可以透過下式擴充套件到實數 nu

F_nu=1/(sqrt(5)){((1+sqrt(5))/2)^nu-(2/(1+sqrt(5)))^nucos(nupi)},
(10)

如上圖所示。

FibonacciRoots

斐波那契函式在 x=0 處有零點，並且有無數個負值接近 n+0.5，對於所有負整數 n，由以下方程的解給出

phi^(2x)=cos(pix),
(11)

其中 phi 是 黃金比例。前幾個根為 0, x=-0.183802... (OEIS A089260), -1.5707764..., -2.4704268..., -3.5108513..., ....

斐波那契數的另一個 遞推關係 是

F_(n+1)=|_(F_n(1+sqrt(5))+1)/2_|=|_phiF_n+1/2_|,
(12)

其中 |_x_| 是 向下取整函式，phi 是 黃金比例。這個表示式來自更一般的 遞推關係

|F_(n+1) F_(n+2) ... F_(n+k); F_(n+k+1) F_(n+k+2) ... F_(n+2k); | | ... |; F_(n+k(k-1)+1) F_(n+k(k-1)+2) ... F_(n+k^2)|=0
(13)

對於 k>2。（k=1 的情況顯然是 F_(n+1)，而 k=2 的情況本質上是 卡西尼恆等式，因此等於 (-1)^n。）

另一個有趣的 行列式 恆等式來自於定義 A_n 為 n×n 矩陣，該矩陣除了 a_(ii)=1 和 a_(ij)=sqrt(-1)（對於 |i-j|=1，即沿 上對角線 和 下對角線）之外，所有位置都為零。那麼

|A_n|=F_(n+1)
(14)

(S. Markelov)。

斐波那契數的 生成函式 是

g(x)=sum_(n=0)^(infty)F_nx^n
(15)
=x/(1-x-x^2)
(16)
=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+....
(17)
FibonacciSlash

透過代入 x=1/10，這給出了上面所示的奇特的加法樹，

sum_(n=0)^infty(F_n)/(10^n)=(10)/(89),
(18)

因此

sum_(n=0)^infty(F_n)/(10^(n+1))=1/(89)
(19)

(Livio 2002, pp. 106-107)。

和

sum_(k=1)^infty1/(F_k)=3.35988566...
(20)

(OEIS A079586) 被稱為 倒數斐波那契常數。

Yuri Matiyasevich (1970) 證明了存在一個關於 n、m 和許多其他變數 x、y、z、... 的多項式 P，它具有以下性質：n=F_(2m) 當且僅當 存在整數 x、y、z、... 使得 P(n,m,x,y,z,...)=0。這導致了 Julia Robinson 和 Martin Davis 在 1970 年證明了 希爾伯特問題 中的第十個問題（是否存在解決 丟番圖方程 的通用方法？）的不可解性 (Reid 1997, p. 107)。

FibonacciChecker3
FibonacciChecker4
FibonacciChecker5

斐波那契數 F_(n+1) 給出了用 2×1 多米諾骨牌 覆蓋 2×n 棋盤 的方法數，如上圖所示 (Dickau)。

從數字 1, 2, ..., n 中選取一個 集合（包括 空集）而不選取兩個連續數字的方法數是 F_(n+2)。從數字 1, 2, ..., n 中選取一個集合（包括 空集）而不選取兩個連續數字（其中 1 和 n 現在是連續的）的方法數是 L_n=F_(n+1)+F_(n-1)，其中 L_n 是一個 盧卡斯數。

在拋擲 n 次 硬幣 時，不連續出現兩次正面的機率是 F_(n+2)/2^n (Honsberger 1985, pp. 120-122)。斐波那契數也與 n 次 拋硬幣 的方式數有關，使得不會連續出現三個正面或反面。一個 n 元 柵欄偏序集 的理想數是斐波那契數 F_n。

給定一個由 n 個 1-Omega 電阻組成的 電阻網路，每個電阻都以前一個電阻串聯或並聯的方式遞增連線，則淨電阻是一個 有理數，其最大可能的 denominator 為 F_(n+1)。

斐波那契數可以用 第二類切比雪夫多項式 表示為

F_n=i^(n-1)U_(n-1)(-1/2i).
(21)

求和恆等式包括

sum_(k=1)^(n)F_k=F_(n+2)-1
(22)
sum_(k=0)^(n)F_(2k+1)=F_(2n+2)
(23)
sum_(k=0)^(n)F_(2k)=F_(2n+1)-1
(24)
sum_(k=1)^(n)F_k^2=F_nF_(n+1).
(25)

有許多特別漂亮的涉及斐波那契數的代數恆等式，包括

F_(2n)=F_(n+1)^2-F_(n-1)^2
(26)
=F_n(F_(n+1)+F_(n-1))
(27)
=F_n(F_n+2F_(n-1))
(28)
=F_n(2F_(n+1)-F_n)
(29)
F_(3n)=F_(n+1)^3+F_n^3-F_(n-1)^3
(30)
F_(n+1)^2=4F_nF_(n-1)+F_(n-2)^2
(31)

(Brousseau 1972), 卡塔蘭恆等式

F_n^2-F_(n+r)F_(n-r)=(-1)^(n-r)F_r^2,
(32)

d'Ocagne 恆等式

F_mF_(n+1)-F_nF_(m+1)=(-1)^nF_(m-n),
(33)

和 Gelin-Cesàro 恆等式

F_n^4-F_(n-2)F_(n-1)F_(n+1)F_(n+2)=1.
(34)

在 (32) 中令 r=1 得到 卡西尼恆等式

F_(n-1)F_(n+1)-F_n^2=(-1)^n,
(35)

有時也稱為 Simson 公式，因為它也是由 Simson 發現的 (Coxeter and Greitzer 1967, p. 41; Coxeter 1969, pp. 165-168; Petkovšek et al. 1996, p. 12)。

Johnson (2003) 給出了非常一般的恆等式

F_aF_b-F_cF_d=(-1)^r(F_(a-r)F_(b-r)-F_(c-r)F_(d-r)),
(36)

它對於任意整數 a、b、c、d 和 r（其中 a+b=c+d）成立，由此可以得出許多其他恆等式作為特例。

斐波那契數服從否定公式

F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n,
(37)

加法公式

F_(m+n)=1/2(F_mL_n+L_mF_n),
(38)

其中 L_n 是一個 盧卡斯數，減法公式

F_(m-n)=1/2(-1)^n(F_mL_n-L_mF_n),
(39)

基本恆等式

L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n,
(40)

共軛關係

F_n=1/5(L_(n-1)+L_(n+1)),
(41)

後繼關係

F_(n+1)=1/2(F_n+L_n),
(42)

倍角公式

F_(2n)=F_nL_n,
(43)

多角遞推

F_(kn)=L_kF_(k(n-1))-(-1)^kF_(k(n-2)),
(44)

多角公式

F_(kn)=1/(2^(k-1))sum_(i=0)^(|_(k-1)/2_|)(k; 2i+1)5^iF_n^(2i+1)L_n^(k-1-2i)
(45)
=F_nsum_(i=0)^(|_(k-1)/2_|)(k-1-i; i)(-1)^(i(n+1))L_n^(k-1-2i)
(46)
={L_nsum_(i=0)^((k-2)/2)(k-1-i; i)(-1)^(in)5^(k/2-1-i)F_n^(k-1-2i) for k even; sum_(i=0)^(|_k/2_|)k/(k-i)(k-i; i)(-1)^(in)5^(|_k/2_|-i)F_n^(k-2i) for k odd
(47)
=sum_(i=0)^(k)(k; i)F_iF_n^iF_(n-1)^(k-i)
(48)
=sum_(i=0)^(k)(k; i)F_(-i)F_n^iF_(n+1)^(k-i)
(49)

（其中 (48) 僅對 n>1 成立），推廣

F_(kn+c)=sum_(i=0)^k(k; i)F_(c-i)F_n^iF_(n+1)^(k-i)
(50)

(A. Mihailovs, 私人通訊，2003 年 1 月 24 日), 乘積展開式

F_mF_n=1/5[L_(m+n)-(-1)^nL_(m-n)]
(51)

以及

F_mL_n=F_(m+n)+(-1)^nF_(m-n),
(52)

平方展開式，

F_n^2=1/5[L_(2n)-2(-1)^n],
(53)

和冪展開式

F_n^k=1/(2·5^(|_k/2_|))sum_(i=0)^k(k; i)(-1)^(i(n+1)){F_((k-2i)n) for k odd; L_((k-2i)n) for k even.
(54)

Honsberger (1985, p. 107) 給出了通用關係式

F_(n+m)=F_(n-1)F_m+F_nF_(m+1)
(55)
F_((k+1)n)=F_(n-1)F_(kn)+F_nF_(kn+1)
(56)
F_n=F_lF_(n-l+1)+F_(l-1)F_(n-l).
(57)

在 l=n-l+1 的情況下，則 l=(n+1)/2，對於 n 奇數，

F_n=F_((n+1)/2)^2+F_((n-1)/2)^2.
(58)

類似地，對於 n 偶數，

F_n=F_(n/2+1)^2-F_(n/2-1)^2.
(59)

令 k=(n-1)/2 得到恆等式

F_(2k+1)=F_(k+1)^2+F_k^2
(60)
F_(n+2)^2-F_(n+1)^2=F_nF_(n+3)
(61)
F_n^2=F_(n-1)^2+3F_(n-2)^2+2F_(n-2)F_(n-3).
(62)
FibonacciShallowDiags

F_n 的求和 公式 包括

F_n=1/(2^(n-1))sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)5^k(n; 2k+1)
(63)
F_(n+1)=sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k; k)
(64)

(Wells 1986, p. 63)，後者表明 帕斯卡三角形 的 淺對角線”之和為斐波那契數 (Pappas 1989)。其他恆等式可以在 Fibonacci Quarterly 期刊中找到。Halton (1965) 給出了 47 個廣義恆等式列表。

用 盧卡斯數 L_n 表示，

F_(2n)=F_nL_n
(65)
F_(2n)(L_(2n)^2-1)=F_(6n)
(66)
F_(m+p)+(-1)^(p+1)F_(m-p)=F_pL_m
(67)
sum_(k=a+1)^(a+4n)F_k=F_(a+4n+2)-F_(a+2)=F_(2n)L_(a+2n+2)
(68)

(Honsberger 1985, pp. 111-113)。一個顯著的恆等式是

exp(L_1x+1/2L_2x^2+1/3L_3x^3+...)=F_1+F_2x+F_3x^2+...
(69)

(Honsberger 1985, pp. 118-119)，它可以推廣到

exp(L_kx+1/2L_(2k)x^2+1/3L_(3k)x^3+...)=(F_k+F_(2k)x+F_(3k)x^2+...)/(F_k)
(70)

(Johnson 2003)。以下等式也成立

(L_n^2-(-1)^aL_(n+a)^2)/(F_n^2-(-1)^aF_(n+a)^2)=5
(71)

對於 a 奇數，以及

(L_n^2+L_(n+a)^2-8(-1)^n)/(F_n^2+F_(n+a)^2)=5
(72)

對於 a 偶數 (Freitag 1996)。

從 (◇) 中，連續項的 比率 為

(F_n)/(F_(n-1))=1+(F_(n-2))/(F_(n-1))
(73)
=1+1/((F_(n-1))/(F_(n-2)))
(74)
=1+1/(1+1/((F_(n-3))/(F_(n-2))))
(75)
=[1,1,...,(F_2)/(F_1)]
(76)
=[1,1,...,1_()_(n-1)],
(77)

這只是 黃金比例 phi 的 連分數 的前幾項。因此，

lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1))=phi.
(78)

與 黃金比例 的另一個有趣的聯絡由 級數 給出

phi=1+sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(F_nF_(n+1)).
(79)

Guy (1990) 注意到一個有趣的現象，對於 n=0, 1, ...，[e^((n-1)/2)] 給出 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...，但隨後繼續為 91, 149, ... (OEIS A005181)。

取前 n 個斐波那契數的乘積，並對 n=1, 2, ... 加 1，得到序列 2, 2, 3, 7, 31, 241, ... (OEIS A052449)。其中，2, 2, 3, 7, 31, 241, 3121, ... (OEIS A053413) 是素數，即項 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 28, ... (OEIS A053408)。

斐波那契數中最後一位數字的序列以 60 為週期重複。最後兩位數字以 300 為週期重複，最後三位數字以 1500 為週期重複，最後四位數字以 15000 為週期重複，等等。介於 n 和 2n 之間的斐波那契數的數量為 1 或 2 (Wells 1986, p. 65)。

Cesàro 推匯出了有限和

sum_(k=0)^(n)(n; k)F_k=F_(2n)
(80)
sum_(k=0)^(n)(n; k)2^kF_k=F_(3n)
(81)

(Honsberger 1985, pp. 109-110)。斐波那契數滿足冪遞推式

sum_(j=0)^(t+1)(-1)^(j(j+1)/2)[t+1; j]_FF_(n-j)^t=0,
(82)

其中 [a; b]_F 是一個 斐波那契二項式係數，倒數和

sum_(k=1)^n((-1)^k)/(F_kF_(k+a))=(F_n)/(F_a)sum_(k=1)^a((-1)^k)/(F_kF_(k+n)),
(83)

卷積

sum_(k=0)^nF_kF_(n-k)=1/5(nL_n-F_n),
(84)

部分分式分解

1/(F_(n+a)F_(n+b)F_(n+c))=A/(F_(n+a))+B/(F_(n+b))+C/(F_(n+c)),
(85)

其中

A=((-1)^(n-a))/(F_(b-a)F_(c-a))
(86)
B=((-1)^(n-b))/(F_(c-b)F_(a-b))
(87)
C=((-1)^(n-c))/(F_(a-c)F_(b-c)),
(88)

和求和公式

sum_(k=0)^nx^kF_(ak+b)=(g(n+1)-g(0))/(1-L_ax+(-1)^ax^2),
(89)

其中

g(n)=(-1)^aF_(a(n-1)+b)x^(n+1)-F_(an+b)x^n.
(90)

無窮和包括

sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(F_nF_(n+2))=2-sqrt(5)
(91)

(Clark 1995) 和

sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n+1))/(F_(n+1)F_(n+2))=phi^(-2)
(92)
sum_(n=1)^(infty)1/(F_(2n)F_(2n+2))=phi^(-2),
(93)

其中 phi 是 黃金比例 (Wells 1986, p. 65)。

對於 n>=3，F_n|F_m 當且僅當 n|m (Wells 1986, p. 65)。L_n|L_m 當且僅當 n 能被 m 整除的次數為 奇數 次。(F_m,F_n)=F_((m,n)) (Michael 1964; Honsberger 1985, pp. 131-132)。沒有 奇數 斐波那契數能被 17 整除 (Honsberger 1985, pp. 132 和 242)。沒有斐波那契數 >8 永遠是 形式為 p-1 或 p+1 的數，其中 p 是一個 素數 (Honsberger 1985, p. 133)。

考慮和

s_k=sum_(n=2)^(k)1/(F_(n-1)F_(n+1))
(94)
=sum_(n=2)^(k)(1/(F_(n-1)F_n)-1/(F_nF_(n+1))).
(95)

這是一個 telescoping sum，因此

s_k=1-1/(F_(k+1)F_(k+2)),
(96)

因此

S=lim_(k->infty)s_k=1
(97)

(Honsberger 1985, pp. 134-135)。使用 比內公式，也可以得出

(F_(n+r))/(F_n)=(alpha^(n+r)-beta^(n+r))/(alpha^n-beta^n)=(alpha^(n+r))/(alpha^n)(1-(beta/alpha)^(n+r))/(1-(beta/alpha)^n),
(98)

其中

alpha=1/2(1+sqrt(5))
(99)
beta=1/2(1-sqrt(5))
(100)

因此

lim_(n->infty)(F_(n+r))/(F_n)=alpha^r.
(101)
S^'=sum_(n=1)^infty(F_n)/(F_(n+1)F_(n+2))=1
(102)

(Honsberger 1985, pp. 138 和 242-243)。米林級數 的和為

S^('')=sum_(n=0)^infty1/(F_(2^n))=1/2(7-sqrt(5))
(103)

(Honsberger 1985, pp. 135-137)。

斐波那契數是 完全的。事實上，刪除一個數字仍然留下一個 完全序列，儘管刪除兩個數字不會 (Honsberger 1985, pp. 123 和 126)。從斐波那契數中刪除兩項會產生一個甚至不是 弱完全序列 的序列 (Honsberger 1985, p. 128)。但是，序列

F_n^'=F_n-(-1)^n
(104)

是 弱完全的，即使刪除任何有限子序列也是如此 (Graham 1964)。{F_n^2} 不是 完全的，但 {F_n^2}+{F_n^2} 是。2^(N-1) 份 {F_n^N} 是 完全的。

有關 平方數 斐波那契數的討論，請參見 Cohn (1964ab)，他證明了唯一的 平方數 斐波那契數是 1 和 F_(12)=144 (Cohn 1964ab, Guy 1994)。Ming (1989) 證明了唯一的 三角形數 斐波那契數是 1, 3, 21 和 55。斐波那契數和 盧卡斯數 除了 1 和 3 之外沒有共同項。唯一的 立方數 斐波那契數是 1 和 8。

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(2n+3)=F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(105)

是一個 勾股三元組，正如 Raine 首次發現的那樣 (Livio 2002, p. 107)。

F_(4n)^2+8F_(2n)(F_(2n)+F_(6n))=(3F_(4n))^2
(106)

始終是一個 平方數 (Honsberger 1985, p. 243)。

1975 年，James P. Jones 表明，斐波那契數是 多項式 的 正整數 值

P(x,y)=-y^5+2y^4x+y^3x^2-2y^2x^3-y(x^4-2)
(107)

對於 高斯整數 x 和 y (Le Lionnais 1983)。如果 n 和 k 是兩個 正 整數，那麼在 n^k 和 n^(k+1) 之間，永遠不會出現超過 n 個斐波那契數 (Honsberger 1985, pp. 104-105)。

斐波那契數滿足恆等式

GCD(F_m,F_n)=F_(GCD(m,n)),
(108)

其中 GCD(a,b) 是 最大公約數。

斐波那契數列對於任何模數 m 都是週期性的 (Wall 1960)。這些週期被稱為 皮薩諾週期 pi(m) (Wrench 1969)。斐波那契數模 m 對於小 m 的值在下表中列出，以及它們的 皮薩諾週期。

mpi(m)OEIS{F_n} (mod m)
23A0116551, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
38A0821151, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, ...
46A0793431, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, ...
520A0821161, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, ...
624A0821171, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, ...
716A0821161, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, ...
812A0793441, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, 2, ...

另請參閱

Brown's Criterion, Cassini's Identity, Catalan's Identity, d'Ocagne's Identity, Fast Fibonacci Transform, Fibonacci Dual Theorem, Fibonacci n-Step Number, Fibonacci Polynomial, Fibonacci Prime, Fibonacci Q-Matrix, Fibonomial Coefficient, Fibonorial, Gelin-Cesàro Identity, Generalized Fibonacci Number, Inverse Tangent, Linear Recurrence Equation, Lucas Sequence, Near Noble Number, Pell Number, Pisano Period, Rabbit Constant, Random Fibonacci Sequence, Reciprocal Fibonacci Constant, Stolarsky Array, Tetranacci Number, Tribonacci Number, Wythoff Array, Zeckendorf Representation, Zeckendorf's Theorem 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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斐波那契數

請引用為

Chandra, Pravin 和 Weisstein, Eric W. "斐波那契數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FibonacciNumber.html

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