皮薩諾週期

斐波那契數序列 斐波那契數 對於任何模數 都是週期性的 (Wall 1960)，並且週期（模 ）被稱為皮薩諾週期 (Wrench 1969)。對於 , 2, ...，pi(m) 的值為 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, ... (OEIS A001175)。

由於 ，F_n 的最後一位數字以 60 為週期重複，正如拉格朗日在 1774 年首次指出的那樣 (Livio 2002, p. 105)。最後兩位數字以 300 為週期重複，最後三位以 1500 為週期重複。1963 年，Geller 發現最後四位數字的週期為 ，最後五位的週期為 。Jarden 隨後證明，對於 ，最後 位數字的週期為 (Livio 2002, pp. 105-106)。因此，n=1, 10, 100, 1000, ... 的皮薩諾週期序列為 60, 300, 1500, 15000, 150000, 1500000, ... (OEIS A096363)。

如果 (Wall 1960)，則 pi(m) 為偶數。 當且僅當 對於某個整數 時，pi(m)=m (Fulton and Morris 1969, Wrench 1969)。