立方數

立方數是一種 圖形數 形式為 ，其中 是 正整數。前幾個是 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... (OEIS A000578)。小說深夜小狗神秘事件的主人公克里斯託弗背誦立方數來讓自己平靜下來，並防止自己想打人（Haddon 2003, p. 213）。

給出立方數的生成函式是

六角錐數等價於立方數 (Conway and Guy 1996)。

上面的圖表顯示了以二進位制表示的前 255 個（上圖）和 511 個（下圖）立方數。

波洛克 (Pollock) (1843-1850) 推測每個數都是最多 9 個立方數的和 (Dickson 2005, p. 23)。作為華林問題研究的一部分，已知每個正整數都是不超過 9 個正立方數的和 (，由 Dickson、Pillai 和 Niven 在二十世紀初證明)，並且每個“足夠大的”整數都是不超過 7 個正立方數的和 ()。然而，尚不清楚 7 是否可以減少 (Wells 1986, p. 70)。表示數字 1, 2, 3, ... 所需的正立方數個數為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, ...(OEIS A002376)，以及用正立方數表示數字 1, 2, 3, ... 的不同方式的數量為 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, ... (OEIS A003108)。

1939 年，Dickson 證明唯一需要九個正立方數的整數是 23 和 239。Wieferich 證明只有 15 個整數需要八個立方數：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 和 454 (OEIS A018889)。因此，華林問題中的量 滿足 ，並且已知需要七個立方數的最大數是 8042。Deshouillers等人。(2000) 推測 7373170279850 是不能表示為四個非負立方數之和的最大整數。

下表給出了表示為和至少需要 , 2, 3, ..., 9 （即 個或更多）正立方數的首幾個數字。

存在一個有限的數字集合，它們不能表示為不同的正立方數之和：2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...(OEIS A001476)。

已知每個整數都是最多 5 個帶符號立方數的和 ( 在 華林問題中)。據信 5 可以減少到 4，因此

對於任何數字 ，儘管這尚未對 形式為 的數字進行證明。然而，由於代數恆等式，每個 6 的倍數都可以表示為四個帶符號立方數的和

事實上，已知所有 且不是 形式為 的數字都可以表示為和

三個（正或負）立方數的和，但以下數字除外：, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 和 975 (Miller and Woollett 1955; Gardiner et al. 1964; Guy 1994, p. 151; Mishima; Elsenhaus and Jahnel 2007; Booker; Huisman 2016)。示例包括

雖然已知對於 為 形式的方程 (◇) 沒有解 (Hardy and Wright 1979, p. 327)，但排除上述整數是有已知原因的 (Gardiner et al. 1964)。Mahler 證明 1 有無限多種表示為三個帶符號立方數的方式。

如果也排除 形式的數字，則每個數字都可以表示為四個帶符號立方數的和，使用以下代數恆等式之一，或其互補恆等式（透過 ）

這些恆等式以及 的證明由 Demjanenko 給出 (Demjanenko 1966, Cohen 2004)。

下表給出了可以精確地以 種不同方式表示為 個正立方數之和的數字。（將給定 的所有 組合起來，就可以得到上表中的序列。）例如，

可以用 種方式表示為 個立方數的和。可以用 種方式表示為 個立方數之和的最小數字，

被稱為哈代-拉馬努金數，並且由於哈代講述的關於拉馬努金的故事，在數學史上具有特殊的意義。請注意，OEIS A001235 被定義為以兩種或更多種方式表示為立方數之和的數字序列，因此在前幾項中看起來與下面給出的 系列相同。

下表給出了 到 20 的立方數的可能餘數（模 ），以及不同餘數的數量 。

杜德尼發現了兩個不同於 1 和 2 的有理數，它們的立方和為九，

(Gardner 1958)。尋找兩個立方和為六的有理數的問題被勒讓德“證明”是不可能的。然而，杜德尼找到了簡單的解 17/21 和 37/21。

立方和為立方數的唯一三個連續整數由丟番圖方程給出

卡塔蘭猜想指出 8 和 9 ( 和 ) 是唯一的連續冪（不包括 0 和 1），即 卡塔蘭丟番圖問題的唯一解。這個猜想尚未被證明或反駁，儘管 R. Tijdeman 已經證明，如果該猜想不成立，則可能只有有限數量的例外。也已知 8 和 9 是唯一的連續立方數和平方數（無論順序）。

有六個正整數等於其立方數的數字之和：1、8、17、18、26 和 27 (OEIS A046459; Moret Blanc 1879)。有四個正整數等於其數字的立方和

(Ball and Coxeter 1987)。有兩個 形式為 的平方數： 和 (Le Lionnais 1983)。一個立方數不能是兩個立方數的串聯，因為如果 是 和 的串聯，則 ，其中 是 中的位數。在將 中的任何 1000 的冪移入 後，原始問題等效於找到以下丟番圖方程之一的解

這些方程都沒有整數解，正如 Sylvester、Lucas 和 Pepin 獨立證明的那樣 (Dickson 2005, pp. 572-578)。