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帕斯卡三角形

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帕斯卡三角形是一個 數三角形，其中的數字以交錯的行排列，使得

a_(nr)=(n!)/(r!(n-r)!)=(n; r),
(1)

其中 (n; r) 是一個 二項式係數。這個三角形由 B. 帕斯卡研究，並在他 1665 年出版的遺作中出現 (Pascal 1665)。然而，在此之前，許多其他數學家也研究過它，包括義大利代數學家尼科洛·塔爾塔利亞，他在 1556 年發表了該三角形的前六行。中國數學家楊輝和波斯天文學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆也在更早的世紀描述過它。因此，在中國它被稱為楊輝三角形，在波斯被稱為海亞姆三角形，在義大利被稱為塔爾塔利亞三角形。

從 n=0 開始，這個 三角形 是

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
(2)

(OEIS A007318)。 帕斯卡公式 表明，隨後的每一行都是透過將對角線上方的兩個條目相加得到的，

(n; r)=(n!)/((n-r)!r!)=(n-1; r)+(n-1; r-1).
(3)
Binary plot for Pascal's triangle

上面的圖顯示了扁平化帕斯卡三角形的前 255 項（上圖）和 511 項（下圖）的二進位制表示。

每一行中 1 之後的第一個數字整除該行中的所有其他數字 當且僅當 它是 素數。

對於 n=0, 1, ...，帕斯卡三角形前 n 行中奇數項的數量之和 P_n 為 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49, ... (OEIS A006046)。然後，以下等式成立

0.812...<P_nn^(-theta)<=1
(4)

(Harborth 1976, Le Lionnais 1983)，當 n 為 2 的冪時等式成立，且 n 的冪由常數給出

theta=(ln3)/(ln2)=log_23=1.58496250072115...
(5)

(OEIS A020857)。奇數項的累積計數序列有一些驚人的性質，最小可能值 beta=0.812... (OEIS A077464) 被稱為 Stolarsky-Harborth 常數。

帕斯卡三角形沿其對角線包含 有形數，可以從以下恆等式中看出

sum_(i=1)^(n)(i; j)=(n+1)/(j+1)(n; j)
(6)
=(n+1; j+1).
(7)

此外，第 i 行的元素之和為

sum_(j=0)^i(i; j)=2^i,
(8)

因此，前 k 行（即，第 0 行到第 k-1 行）的總和是 梅森數

sum_(i=0)^(k-1)2^i=2^k-1.
(9)
FibonacciShallowDiags

帕斯卡三角形的“淺對角線”之和為 斐波那契數，即，

1=1
(10)
1=1
(11)
2=1+1
(12)
3=2+1
(13)
5=1+3+1
(14)
8=3+4+1
(15)

並且，通常情況下，

sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k; k)=F_(n+1).
(16)

數字 2、3、4、... 在帕斯卡三角形中出現的次數由 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... 給出 (OEIS A003016; Ogilvy 1972, p. 96; Comtet 1974, p. 93; Singmaster 1971)。類似地，數字 2、3、4、... 出現的行數是 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, ... (OEIS A059233)。

到第 210 行，數字

120=(10; 3)=(10; 7)=(16; 2)=(16; 14)=(120; 1)=(120; 119)
(17)
210=(10; 4)=(10; 6)=(21; 2)=(21; 19)=(210; 1)=(210; 209)
(18)
3003=(14; 6)=(14; 8)=(15; 5)=(15; 10)=(78; 2)=(78; 76)
(19)

已經出現了六次，比任何其他數字（不包括 1）都多。到第 1540 行，

1540=(22; 3)=(22; 19)=(56; 2)=(56; 54)=(1540; 1) =(1540; 1539)
(20)

現在已經出現了六次，到第 3003 行，

3003=(14; 6)=(14; 8)=(15; 5)=(15; 10)=(78; 2) =(78; 76)=(3003; 1)=(3003; 3002)
(21)

現在已經出現了 8 次，到第 7140 行，7140 也出現了六次。事實上，在帕斯卡三角形中出現五次或更多次的數字是 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... (OEIS A003015)，直到 33×10^(16) 都沒有其他數字。

已知在帕斯卡三角形中至少出現 6 次的數字有無限多個，即以下方程的解

r=(n; m-1)=(n-1; m)
(22)

由下式給出

m=F_(2k-1)F_(2k)
(23)
n=F_(2k)F_(2k+1),
(24)

其中 F_i 是第 i 個 斐波那契數 (Singmaster 1975)。 k=1, 2, ... 的前幾個 r 值是 1, 3003, 61218182743304701891431482520, ... (OEIS A090162)。

帕斯卡三角形和 德蘭諾數 之間透過 喬列斯基分解 存在意想不到的聯絡 (G. Helms, 私人通訊，2005 年 8 月 29 日)。更重要的是，儘管兩者在數學上不相關，但帕斯卡三角形和所謂的 流氓三角形 之間也存在主題上的聯絡；這種關係也提供了與 切蛋糕 問題以及 蛋糕數 的切向關係。

帕斯卡三角形（模 2）結果等價於 謝爾賓斯基三角形 (Wolfram 1984; Crandall and Pomerance 2001; Borwein and Bailey 2003, pp. 46-47)。 Guy (1990) 給出了帕斯卡三角形的幾個其他意想不到的性質。

另請參閱

貝爾三角形, 伯努利三角形, 二項式係數, 二項式定理, 布里安松定理, 切蛋糕, 卡塔蘭三角形, 聖誕襪定理, 克拉克三角形, 圓柱切割, 尤拉數三角形, 斐波那契數, 有形數三角形, 萊布尼茨調和三角形, 洛薩尼奇三角形, 數三角形, 帕斯卡公式, 帕斯卡矩陣, 多邊形, 流氓三角形, 塞德爾-恩特林格-阿諾德三角形, 謝爾賓斯基三角形, 平面空間劃分, 直線正方形劃分, 六芒星定理, Stolarsky-Harborth 常數, 三項式三角形 在 課堂中探索此主題

本條目部分由 Christopher Stover 貢獻

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. and Bailey, D. "Pascal's Triangle." §2.1 in Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 45-48, 2003.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 93, 1974.Conway, J. H. and Guy, R. K. "Pascal's Triangle." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 68-70, 1996.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, p. 17, 1996.Crandall, R. and Pomerance, C. Research Problem 8.22 in Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer-Verlag, 2001.de Weger, B. M. M. "Equal Binomial Coefficients: Some Elementary Considerations." Econometric Institute Report from Erasmus University Rotterdam, Econometric Institute, No. 118. http://econpapers.hhs.se/paper/dgreureir/1997118.htm.Gardner, M. "Pascal's Triangle." Ch. 15 in Mathematical Carnival: A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage Books, pp. 194-207, 1977.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag. 63, 3-20, 1990.Guy, R. K. and Klee, V. "Monthly Research Problems, 1969-1971." Amer. Math. Monthly 78, 1113-1122, 1971.Harborth, H. "Number of Odd Binomial Coefficients." Not. Amer. Math. Soc. 23, 4, 1976.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 31, 1983.Ogilvy, C. S. Tomorrow's Math: Unsolved Problems for the Amateur, 2nd ed. New York: Oxford University Press, 1972.Pappas, T. "Pascal's Triangle, the Fibonacci Sequence & Binomial Formula," "Chinese Triangle," and "Probability and Pascal's Triangle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 40-41 88, and 184-186, 1989.Pascal, B. Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière at gallica. Paris: G. Desprez, 1665.Pickover, C. A. "Beauty, Symmetry, and Pascal's Triangle." Ch. 54 in Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 130-133, 2001.Singmaster, D. "How Often Does an Integer Occur as a Binomial Coefficient?" Amer. Math. Monthly 78, 385-386, 1971.Singmaster, D. "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 13, 295-298, 1975.Sloane, N. J. A. Sequences A003015/M5374, A003016/M0227, A059233, A006046/M2445, A007318/M0082,A020857, A077464, and A090162 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. New York: Dover, p. 86, 1984.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 284-285, 1999.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 174-175, 1991.Wolfram, S. "Computation Theory of Cellular Automata." Comm. Math. Phys. 96, 15-57, 1984.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 870 and 931-932, 2002.

在 上被引用

帕斯卡三角形

請引用為

Stover, Christopher 和 Weisstein, Eric W. "帕斯卡三角形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PascalsTriangle.html

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