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萊布尼茨調和三角形


萊布尼茨調和三角形是由下式給出的數三角形

 1/1
1/2  1/2
1/3  1/6  1/3
1/4  1/(12)  1/(12)  1/4
1/5  1/(20)  1/(30)  1/(20)  1/5
(1)

(OEIS A003506),其中每個分數是其下方數字的總和,並且第n行的初始和最終條目由1/n給出。

這些項由以下遞迴關係給出

a_(n,1)=1/n
(2)
a_(n,k)=a_(n-1,k-1)-a_(n,k-1)
(3)

並由下式顯式給出

a_(n,k)=1/(k(n; k))
(4)
=1/(n(n-1; k-1)),
(5)

其中(n; k)是一個二項式係數

第二對角線中的分母普洛尼克數 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, ... (OEIS A002378)。三角形中所有可能分母的排序列表由 6, 12, 20, 30, 42, 56, 60, 72, 90, 105, 110, ... (OEIS A007622) 給出。

行總和由 1, 1, 5/6, 2/3, 8/15, 13/30, 151/420, ... (OEIS A046878A046879) 給出。第n行的分母之和由n·2^(n-1)給出,前幾個是 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, ... (OEIS A001787)。


參見

卡塔蘭三角形, 克拉克三角形, 尤拉數三角形, 洛薩尼奇三角形, 數三角形, 帕斯卡三角形, 塞德爾-恩特林格-阿諾德三角形

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參考文獻

Sloane, N. J. A. 序列 A001787/M3444, A002378/M1581, A003506, A007622/M4096, A046878, 和 A046879,出自“整數序列線上百科全書”。

在 上引用

萊布尼茨調和三角形

請引用為

Weisstein, Eric W. “萊布尼茨調和三角形。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LeibnizHarmonicTriangle.html

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