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大衛之星定理


StarofDavidTheorem

正如 Gould (1972) 最初所述,

 GCD{(n-1; k),(n; k-1),(n+1; k+1)} 
 =GCD{(n-1; k-1),(n; k+1),(n+1; k)},
(1)

其中 GCD 是 最大公約數,而 (n; k) 是一個 二項式係數。隨後 D. Singmaster 將其擴充套件至

 GCD{(n-1; k),(n; k-1),(n+1; k+1)} 
=GCD{(n-1; k-1),(n; k+1),(n+1; k)} 
=GCD{(n-1; k-2),(n-1; k-1),(n-1; k),(n-1; k+1)}
(2)

(Sato 1975),而 Sato (1975) 將其推廣至

 GCD{(n; k+2),(n-1; k),(n-2; k-2),(n; k-1),(n+2; k),(n+1; k+1)} 
=GCD{(n-2; k),(n-1; k-1),(n; k-2),(n+1; k),(n+2; k+2),(n; k+1)} 
=GCD{(n-2; k-5+j)|j=1,2,3,4,5,6,7}.
(3)

Hitotumatu 和 Sato (1975) 獲得了更大的推廣,他們定義了

M_p={(n-p+1; k-2p+j+1)|j=1,2,...,3p-2},  (p>=1)
(4)
A_p={(n-p+j; k+p-1)|j=1,2,...,3p-2}  (p>=1)
(5)
R_p={(n-p+j; k-2p+j-1)|j=1,2,...,3p-2}  (p>=1)
(6)
Delta_p={(n-p+2t+1; k-p+t+1),(n+p-t-1; k+t),(n-t; k+p-2t-1)|t=1,2,...,p-1}  (p>=2)
(7)
del _p={(n-t; k-p+t+1),(n-p+2t+1; k+t),(n+p-t-1; k+p-2t-1)|t=1,2,...,p-1}  (p>=2)
(8)
U_p= union _(r=1)^pM_r
(9)
V_p= union _(r=1)^pA_r
(10)
W_p= union _(r=1)^pR_r
(11)
D_p= union _(r=1)^pDelta_r
(12)
N_p= union _(r=1)^pdel _r
(13)
B_p=M_p union A_p union R_p
(14)
S_p= union _(r=1)^pB_r
(15)

其中

 Delta_1=del _1=(n; k),
(16)

並表明十二個 二項式係數 M_pA_pR_pDelta_pdel _pU_pV_pW_pD_pN_pB_pS_p 具有相等的 最大公約數

StarofDavidTheorem2

第二個大衛之星定理指出,如果如上圖所示在帕斯卡三角形的給定元素上繪製兩個三角形,則兩個星形中每個星形的相關點中三個數字的乘積 P 是相同的 (Butterworth 2002)。這源於以下事實:

P=(n-1; k-1)(n+1; k)(n; k+1)
(17)
=(n-1; k)(n; k-1)(n+1; k+1)
(18)
=((n-1)!n!(n+1)!)/((k-1)!k!(k+1)!(n-k-1)!(n-k)!(n-k+1)!).
(19)

第二個大衛之星定理不僅適用於通常的 二項式係數,而且也適用於 q-二項式係數,其中公共乘積由下式給出:

 P=((q^k)_infty(q^(k+1))_infty(q^(k+2))_infty(q^(n-l))_infty(q^(n-k+1))_infty(q_(n+k-2))_infty)/((q)_infty^3(q^n)_infty(q^(n+1))_infty(q^(n+2))_infty).
(20)

事實上,該定理適用於基於任何可除序列的廣義二項式係數,例如,橢圓可除序列 (M. Somos,私人通訊,2009 年 3 月 24 日)。


另請參閱

二項式係數, 二項式求和, 聖誕襪定理, 帕斯卡三角形

使用 探索

參考文獻

Ando, S. 和 Sato, D. "Translatable and Rotatable Configurations which Give Equal Product, Equal GCD and Equal LCM Properties Simultaneously." 收錄於 斐波那契數列的應用,第 3 卷:1988 年 7 月 25-29 日在義大利比薩大學舉行的第三屆斐波那契數列及其應用國際會議論文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 編輯). 荷蘭多德雷赫特:Kluwer, pp. 15-26, 1990a.Ando, S. 和 Sato, D. "A GCD Property on Pascal's Pyramid and the Corresponding LCM Property of the Modified Pascal Pyramid." 收錄於 斐波那契數列的應用,第 3 卷:1988 年 7 月 25-29 日在義大利比薩大學舉行的第三屆斐波那契數列及其應用國際會議論文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 編輯). 荷蘭多德雷赫特:Kluwer, pp. 7-14, 1990b.Ando, S. 和 Sato, D. "On the Proof of GCD and LCM Equalities Concerning the Generalized Binomial and Multinomial Coefficients." 收錄於 斐波那契數列的應用,第 4 卷:1990 年 7 月 30 日至 8 月 3 日在北卡羅來納州溫斯頓-塞勒姆維克森林大學舉行的第四屆斐波那契數列及其應用國際會議論文集 (溫斯頓-塞勒姆,北卡羅來納州,1990 年) (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 編輯). 荷蘭多德雷赫特:Kluwer, 9-16, 1991.Ando, S. 和 Sato, D. "Multiple Color Version of the Star of David Theorems on Pascal's Triangle and Related Arrays of Numbers." 收錄於 斐波那契數列的應用,第 6 卷:1994 年 7 月 18-22 日在華盛頓州立大學普爾曼分校舉行的第六屆斐波那契數列及其應用國際研究會議論文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou, 和 A. F. Horadam 編輯). 荷蘭多德雷赫特:Kluwer, pp. 31-45, 1996.Butterworth, B. "The Twelve Days of Christmas: Music Meets Math in a Popular Christmas Song." Inside Science News Service, 2002 年 12 月 17 日. http://www.aip.org/isns/reports/2002/058.html.Gould, H. W. Not. Amer. Math. Soc. 19, A-685, 1972.Hitotumatu, S. 和 Sato, D. "Expansion of the Star of David Theorem." Abstracts Amer. Math. Soc., p. A-377, 1975.Hitotumatu, S. 和 Sato, D. "Star of David Theorem. I." Fib. Quart. 13, 70, 1975.Sato, D. "Expansion of the Star of David Theorem of H. W. Gould and David Singmaster." Abstracts Amer. Math. Soc., p. A-377, 1975.

在 中被引用

大衛之星定理

引用為

Weisstein, Eric W. "大衛之星定理。" 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/StarofDavidTheorem.html

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