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二項式求和

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重要的二項式定理指出

sum_(k=0)^n(n; k)r^k=(1+r)^n.
(1)

考慮二項式係數的冪的和

a_n^((r))=sum_(k=0)^(n)(n; k)^r
(2)
=_rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(3)

其中 _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;z) 是一個廣義超幾何函式。當它們存在時，可以使用 Zeilberger 演算法快速生成給出這些方程解的遞推方程。

對於 r=1，閉式解由下式給出

a_n^((1))=2^n,
(4)

即，二的冪。a_n^((1)) 服從遞推關係

a_(n+1)^((1))-2a_n^((1))=0.
(5)

對於 r=2，閉式解由下式給出

a_n^((2))=(2n; n).
(6)

即，中心二項式係數。a_n^((2)) 服從遞推關係

(n+1)a_(n+1)^((2))-(4n+2)a_n^((2))=0.
(7)

Franel (1894, 1895) 是第一個獲得 a_n^((3)) 遞推關係的人，

(n+1)^2a_(n+1)^((3))-(7n^2+7n+2)a_n^((3))-8n^2a_(n-1)^((3))=0
(8)

(Riordan 1980, 第 193 頁；Barrucand 1975; Cusick 1989; Jin 和 Dickinson 2000)，因此 a_n^((3)) 有時被稱為 Franel 數。 a_n^((3)) 的序列不能表示為固定數量的超幾何項（Petkovšek et al. 1996, 第 160 頁），因此沒有閉式超幾何表示式。

Franel (1894, 1895) 也是第一個獲得 a_n^((4)) 遞推關係的人，

(n+1)^3a_(n+1)^((4))-2(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n^((4)) -4n(4n+1)(4n-1)a_(n-1)^((4))=0
(9)

(Riordan 1980, 第 193 頁；Jin 和 Dickinson 2000)。

Perlstadt (1987) 找到了 r=5 和 6 時，長度為 4 的遞推關係。

32(n+1)^4(55n^2+253n+292)a_n^((5))+(19415n^6+205799n^5+900543n^4+2082073n^3+2682770n^2+1827064n+514048)a_(n+1)^((5))+(1155n^6+14553n^5+75498n^4+205949n^3+310827n^2+245586n+79320)a_(n+2)^((5))+(n+3)^4(55n^2+143n+94)a_(n+3)^((5))=0.
(10)

Schmidt 和 Yuan (1995) 表明，給出的 r=3、4、5 和 6 的遞推關係是最小的，r>6 的最小長度至少為 3。下表總結了小 a_n^((r)) 的前幾個值。

rOEISa_n^((r))
1A0000791, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
2A0009841, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ...
3A0001721, 2, 10, 56, 346, 2252, ...
4A0052601, 2, 18, 164, 1810, 21252, ...
5A0052611, 2, 34, 488, 9826, 206252, ...

相應的交錯級數是

b_n^((r))=sum_(k=0)^(n)(-1)^k(n; k)^r
(11)
=_rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(12)

前幾個值是

b_n^((1))=0
(13)
b_n^((2))=(2^nsqrt(pi))/(Gamma(1/2-1/2n)Gamma(1+1/2n)),
(14)
=2^nP_n(0)
(15)
={0 for n=2k-1; (-1)^k(2k; k) for n=2k
(16)
b_n^((3))=(2^nsqrt(pi)Gamma(1+3/2n))/(n!Gamma(1/2(1-n))Gamma(1+1/2n)^2)
(17)
={0 for n=2k-1; ((-1)^k(3k)!)/((k!)^3) for n=2k,
(18)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式，P_n(x) 是勒讓德多項式，而 b_3(n) 的奇數項由 de Bruijn 的 s(3,n) 給出，符號交替。

Zeilberger 演算法可以用於找到 b_ns 的遞推方程，

nb_n^((2))+4(n-1)a_(n-2)^((2))=0 n^2b_n^((3))+3(9n^2-18n+8)b_(n-2)^((3))=0 (n-1)n^3(12n^2-63n+83)b_n^((4))+4(408n^6-3774n^5+13760n^4-25203n^3+24465n^2-11970n+2340)b_(n-2)^((4))+16(n-2)(n-3)^3(12n^2-15n+5)b_(n-4)^((4))=0.
(19)

形式為 sum_(k=0)^(n)(n; k)k^r 的求和（Boros 和 Moll 2004, 第 14-15 頁）由下式給出

sum_(k=0)^(n)(n; k)=2^n
(20)
sum_(k=0)^(n)k(n; k)=2^(n-1)n
(21)
sum_(k=0)^(n)k^2(n; k)=2^(n-2)n(n+1)
(22)
sum_(k=0)^(n)k^3(n; k)=2^(n-3)n^2(n+3)
(23)
sum_(k=0)^(n)k^4(n; k)=2^(n-4)n(n+1)(n^2+5n-2)
(24)
sum_(k=0)^(n)k^5(n; k)=2^(n-5)n^2(n^3+10n^2+15n-10),
(25)

其中右側多項式的係數三角形（忽略偶數/奇數項 n^2 和 n(n+1)）由 1; 1, 3; 1, 5, -2; 1, 10, 15, -10; ... (OEIS A102573)。

de Bruijn (1981) 考慮了求和

s(m,n)=sum_(k=0)^(2n)(-1)^(k+n)(2n; k)^m
(26)

對於 m,n>=1。當 m=1、2 和 3 時，此求和具有閉式形式，

s(1,n)=0
(27)
s(2,n)=((2n)!)/((n!)^2),
(28)

中心二項式係數，給出 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ... (OEIS A000984)，以及

s(3,n)=((3n)!)/((n!)^3),
(29)

給出 1, 6, 90, 1680, 36450, 756756, ... (OEIS A006480; Aizenberg 和 Yuzhakov 1984)。然而，當 m>=4 時，沒有類似的公式（de Bruijn 1981）。 s(4,n) 的前幾個項是 1, 14, 786, 61340, 5562130, ... (OEIS A050983)，而對於 s(5,n) 是 1, 30, 5730, 1696800, 613591650, ... (OEIS A050984)。

一個有趣的 b_1(n) 的推廣由下式給出

sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(x-k)^n=n!
(30)

對於正整數 n 和所有 x (Ruiz 1996)。這個恆等式是以下事實的結果：差分運算元對 n 次多項式應用 n 次將得到 n! 乘以多項式的首項係數。上面的方程只是這種情況的一個特例，透過將 (x-k)^n 替換為任何首項係數為 1 的 P(x-k) 次數為 n 的多項式即可獲得一般情況。

倒數二項式係數的無窮和具有解析形式

sum_(k=0)^(infty)1/((n; k))=_2F_1(1,1;-n;-1)
(31)
=-(n+1)int_0^1(dx)/((1-x)^(n+2)(x+1)),
(32)

其中 _2F_1(a,b;c;x) 是一個超幾何函式。事實上，一般來說，

sum_(k=0)^infty1/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^p)
(33)

和

sum_(k=0)^infty((-1)^k)/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^(p+1)).
(34)

另一個有趣的求和是

sum_(k=0)^(n)(n!)/(k!)=eGamma(n+1,1)
(35)
=|_n!e_|,
(36)

其中 Gamma(a,x) 是一個不完全伽瑪函式，而 |_x_| 是向下取整函式。對於 n=1、2、... 的前幾個項是 2、5、16、65、326、... (OEIS A000522)。

一系列引人入勝的恆等式，涉及倒數中心二項式係數乘以小冪，由下式給出

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n))=1/(27)(2pisqrt(3)+9)
(37)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(2n; n))=1/9pisqrt(3)
(38)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^2(2n; n))=1/3zeta(2)=1/(18)pi^2
(39)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^3(2n; n))=1/(18)pisqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]-4/3zeta(3)
(40)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^4(2n; n))=(17)/(36)zeta(4)=(17)/(3240)pi^4
(41)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^5(2n; n))=1/(432)pisqrt(3)[psi_3(1/3)-psi_3(2/3)]-(19)/3zeta(5)+1/9zeta(3)pi^2
(42)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^7(2n; n))=(11)/(311040)pisqrt(3)[psi_5(1/3)-psi_5(2/3)]-(493)/(24)zeta(7)+1/3zeta(5)pi^2+(17)/(1620)zeta(3)pi^4,
(43)

(Comtet 1974, 第 89 頁；Le Lionnais 1983, 第 29, 30, 41, 36 頁；Borwein et al. 1987, 第 27-28 頁)，它們源自美麗的公式

sum_(n=1)^infty1/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);1/4)
(44)

對於 k>=1，其中 _mF_n(a_1,...,a_m;b_1,...,b_n;x) 是一個廣義超幾何函式，psi_n(x) 是多伽瑪函式，而 zeta(x) 是黎曼 zeta 函式 (Plouffe 1998)。

B. Cloitre (私人通訊，2004 年 10 月 6 日) 提出的一個漂亮的求和由下式給出

sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1))/(n2^n(2n; n))=1/3ln2.
(45)

可以以閉式形式完成的其他類別的二項式求和包括

sum_(n=1)^(infty)(18-9n)/((2n; n))=(2pi)/(sqrt(3))
(46)
sum_(n=0)^(infty)(50n-6)/((3n; n)2^n)=pi
(47)
sum_(n=1)^(infty)(-150n^2+230n-36)/((3n; n)2^n)=pi
(48)
sum_(n=1)^(infty)(575n^2-965n+273)/((3n; n)2^n)=-6ln2
(49)

(Gosper 1974, Borwein 和 Borwein 1987; Borwein et al. 2004, 第 20-25 頁)。其中一些來自一般結果

sum_(n=1)^(infty)(n^k)/((2n; n))=1/2(-1)^(k+1)sum_(j=1)^(k+1)((-1)^jj!S(k+1,j))/(3^j)(2j; j)×[(2pi)/(3sqrt(3))+sum_(i=0)^(j-1)(3^i)/((2i+1)(2i; i))]
(50)
=p_k+q_kpi/(sqrt(3)),
(51)

其中 S(k,j) 是第二類斯特林數，而 p_k、q_k 是確定的有理數（Borwein et al. 2004, 第 23-25 頁）。第一種形式的前幾個求和是

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n))=1/3+2/9pi/(sqrt(3))
(52)
sum_(n=1)^(infty)n/((2n; n))=2/3+2/9pi/(sqrt(3))
(53)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((2n; n))=4/3+(10)/(27)pi/(sqrt(3)),
(54)

給出 p_k 的值為 2/3、4/3、10/3、32/3、...，以及 q_k 的值為 2/9、10/27、74/81、....

類似地，第二種形式的前幾個求和由下式給出

sum_(n=1)^infty(n^k)/((3n; n)2^n)=r_k+s_kpi+t_kln2.
(55)

其中前幾個是

sum_(n=1)^(infty)1/((3n; n)2^n)=2/(25)-6/(125)ln2+(11)/(250)pi
(56)
sum_(n=1)^(infty)n/((3n; n)2^n)=(81)/(625)-(18)/(3125)ln2+(79)/(3125)pi
(57)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((3n; n)2^n)=(561)/(3125)+(42)/(15625)ln2+(673)/(31250)pi,
(58)

給出 r_k 的值為 2/25、81/625、561/3125、...，s_k 的值為 -6/125、-18/3125、42/15625、...，以及 t_k 的值為 11/250、79/3125、673/31250、....

Borwein (et al. 2004, 第 27-28 頁) 推測形式為 的求和的閉式解

sum_(n=1)^infty1/(n^3(3n; n)2^n)
(59)

以多維多重對數表示。

形式為的求和

sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);-1/4)
(60)

也可以簡化 (Plouffe 1998) 以給出特殊情況

sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n(2n; n))=2/5sqrt(5)csch^(-1)2=2/5sqrt(5)lnphi
(61)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^2(2n; n))=2(csch^(-1)2)^2=2(lnphi)^2
(62)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^3(2n; n))=2/5zeta(3).
(63)

其他一般恆等式包括

((a+b)^n)/a=sum_(k=0)^n(n; k)(a-kc)^(k-1)(b+kc)^(n-k)
(64)

(Prudnikov et al. 1986)，當 c=0 時，它給出了二項式定理作為特例，以及

sum_(n=0)^(infty)(2n+s; n)x^n=_2F_1(1/2(s+1),1/2(s+2);s+1,4x)
(65)
=(2^s)/((sqrt(1-4x)+1)^ssqrt(1-4x)),
(66)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是一個超幾何函式 (Abramowitz 和 Stegun 1972, 第 555 頁；Graham et al. 1994, 第 203 頁)。

對於非負整數 n 和 r，其中 r<=n+1,

sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1)(n; k)[sum_(j=0)^(r-1)(-1)^j(n; j)(r-j)^(n-k)+sum_(j=0)^(n-r)(-1)^j(n; j)(n+1-r-j)^(n-k)]=n!.
(67)

取 n=2r-1 得到

sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1)(n; k)sum_(j=0)^(r-1)(n; j)(r-j)^(n-k)=1/2n!.
(68)

其他恆等式是

sum_(k=0)^n(n+k; k)[x^(n+1)(1-x)^k+(1-x)^(n+1)x^k]=1
(69)

(Gosper 1972) 和

sum_(i)(n_i; 2)+sum_(i>j)n_in_j=(n; 2),
(70)

其中

n=sum_(i)n_i.
(71)

後者是 n^2 的多項式定理的影算模擬

((a+b+c)^2)/2=(a^2)/2+(b^2)/2+(c^2)/2+ab+ac+bc
(72)

使用降階乘多項式 (n)_2=n(n-1)/2，得到

(a+b+c; 2)=(a; 2)+(b; 2)+(c; 2)+ab+ac+bc.
(73)

該恆等式不僅適用於 (n)_2 和 n^2/2，而且適用於任何形式為 形式為 n(n+a)/2 的二次多項式。

Sinyor et al. (2001) 給出了奇怪的求和

sum_(l^'<=l)sum_(j^'<=j)1/(m-l^')(m+l^(')-j^('); 2l^(')-j^(')+1)(m-l^(')+j^(')-1; j^('))(m-l^('); 2(l-l^('))-(j-j^(')))(m-l^('); j-j^('))
(74)
=1/(2(m-l))(2m; 2l+1)(2l+1; j)
(75)
=1/(2l+1)(2m; 2l)(2l+1; j).
(76)

另請參閱

Apéry 數, 二項式, 二項式係數, 中心二項式係數, 聖誕襪定理, Franel 數, 超幾何恆等式, 超幾何級數, 冪等數, 約拿公式 克萊恆等式, 盧卡斯對應定理, 夫妻入座問題, 莫雷公式, Nexus 數, 帕斯卡公式, 施密特問題, 斯坦利恆等式, 大衛之星定理, Strehl 恆等式, Székely 恆等式, 華林公式, Worpitzky 恆等式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, 1972.Aizenberg, I. A. 和 Yuzhakov, A. P. 多維複分析中的積分表示和殘差。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 第 194 頁, 1984.Almkvist, G.; Krattenthaler, C.; 和 Petersson, J. "Pi 的一些新公式。" 手稿, 2001.Barrucand, P. "問題 75-4：組合恆等式。" SIAM Rev. 17, 168, 1975.Beukers, F. "Apéry 數的另一個同餘式。" J. Number Th. 25, 201-210, 1987.Boros, G. 和 Moll, V. 不可抗拒的積分：積分求值中的符號、分析和實驗。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. "二項式級數的求值。" §1.7 在 數學實驗：通往發現的計算路徑。 Wellesley, MA: A K Peters, 第 20-28 頁, 2004.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & AGM：解析數論和計算複雜性研究。 New York: Wiley, 1987.Borwein, J. M.; Broadhurst, D. J.; 和 Kamnitzer, J. "中心二項式求和、多重 Clausen 值和 Zeta 函式。" Exp. Math. 10, 25-41, 2001.Comtet, L. 高階組合學：有限和無限展開的藝術，修訂增補版。 Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Cusick, T. W. "二項式係數冪和的遞推關係。" J. Combin. Th. Ser. A 52, 77-83, 1989.de Bruijn, N. G. 分析中的漸近方法。 New York: Dover, 1981.Egorychev, G. P. 組合求和的積分表示和計算。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984.Franel, J. "關於 Laisant 的一個問題。" L'intermédiaire des mathématiciens 1, 45-47, 1894.Franel, J. "關於 J. Franel 的一個問題。" L'intermédiaire des mathématiciens 2, 33-35, 1895.Gosper, R. W. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的專案 42. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT 人工智慧實驗室, 備忘錄 AIM-239, 第 16 頁, 1972 年 2 月。 http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item42.Gosper, R. W. 未發表的研究公告。 1974.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "二項式係數。" 第 5 章 在 具體數學：計算機科學基礎，第 2 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 第 153-242 頁, 1994.Jin, Y. 和 Dickinson, H. "Apéry 序列和勒讓德變換。" J. Austral. Math. Soc. Ser. A 68, 349-356, 2000.Le Lionnais, F. 卓越的數字。 Paris: Hermann, 1983.MacMahon P. A. "二項式係數冪的和。" Quart. J. Math. 33, 274-288, 1902.McIntosh, R. J. "二項式係數冪的交錯和的遞推關係。" J. Combin. Th. A 63, 223-233, 1993.Perlstadt, M. A. "二項式係數冪和的一些遞推關係。" J. Number Th. 27, 304-309, 1987.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Plouffe, S. "受啟發猜測的藝術。" 1998 年 8 月 7 日。 http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html.Riordan, J. 組合分析導論。 New York: Wiley, 1980.Ruiz, S. "導致威爾遜定理的代數恆等式。" Math. Gaz. 80, 579-582, 1996 年 11 月。Schmidt, A. L. 和 Yuan, J. "二項式係數冪和的遞推關係。" 技術報告, 1995.Shanks, E. B. "二項式係數冪的迭代和。" Amer. Math. Monthly 58, 404-407, 1951.Sinyor, J.; Speevak, R.; 和 Tefera, A. "一個新的組合恆等式。" Int. J. Math. Math. Sci. 25, 361-363, 2001.Sloane, N. J. A. 序列 A000079/M1129, A000172/M1971, A000522/M1497, A000984/M1645, A005260/M2110, A005261/M2156, A006480/M4284, A050983, A050984, 和 A102573 在 "整數序列線上百科全書" 中。Strehl, V. "二項式恆等式——組合和演算法方面。離散數學趨勢。" Disc. Math. 136, 309-346, 1994.

在 中被引用

二項式求和

請引用為

Weisstein, Eric W. "二項式求和。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/BinomialSums.html

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