中心二項式係數

第 箇中心二項式係數定義為

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其中 是二項式係數， 是階乘，而 是雙階乘。

這些數字具有生成函式

(3)

前幾個值是 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, ... (OEIS A000984)。(2·10^n; 10^n) 對於 , 1, ... 的十進位制位數是 1, 6, 59, 601, 6019, 60204, 602057, 6020597, ... (OEIS A114501)。這些數字收斂於 的十進位制展開式的數字 (OEIS A114493)。

中心二項式係數永遠不是素數，除非 。

中心二項式係數的縮放形式被稱為卡塔蘭數

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Erdős 和 Graham (1975) 推測，對於 ，中心二項式係數 永遠不是無平方因子數，這有時被稱為 Erdős 無平方因子猜想。Sárkőzy 定理（Sárkőzy 1985）提供了一個部分解決方案，指出對於所有足夠大的 ，二項式係數 永遠不是無平方因子數（Vardi 1991）。Granville 和 Ramare (1996) 隨後證明了 Erdős 和 Graham 的猜想，他們確定唯一的無平方因子值是 2、6 和 70，分別對應於 、2 和 4。Sander (1992) 隨後表明，只要 不是“太大”，對於足夠大的 ，(2n+/-d; n) 也永遠不是無平方因子數。

中心二項式係數 可被素數 整除，當且僅當 的 p 進位制表示中不包含大於 的數字（P. Carmody，私人通訊，2006 年 9 月 4 日）。對於 ，前幾個這樣的 是 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, 81, ... (OEIS A005836)。

上面給出了複平面中中心二項式係數的圖。

中心二項式係數由以下積分給出

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(Moll 2006, Bailey 等人 2007, p. 163)。

使用 Wolstenholme 定理以及 的事實，可以得出

(6)

對於 的奇素數 (T. D. Noe，私人通訊，2005 年 11 月 30 日)。

一個不太常見的第 箇中心二項式係數的替代定義（上述係數是其子集）是 ，其中 是向下取整函式。前幾個值是 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, ... (OEIS A001405)。中心二項式係數具有生成函式

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這些修改後的中心二項式係數僅對於 , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 19, 23, 71, ... (OEIS A046098) 是無平方因子數，且小於 的沒有其他值 (E. W. Weisstein，2004 年 2 月 4 日)。

一系列有趣的恆等式，涉及中心二項式係數的倒數乘以小冪，由以下公式給出

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(OEIS A073016, A073010, A086463 和 A086464; Comtet 1974, p. 89; Le Lionnais 1983, pp. 29, 30, 41, 36)，這些恆等式源於美麗的公式

(13)

對於 ，其中 是廣義超幾何函式。此型別的其他求和包括

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其中 是多伽瑪函式，zeta(x) 是黎曼 zeta 函式 (Plouffe 1998)。

類似地，我們有

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	(19)
	(20)

(OEIS A086465, A086466, A086467 和 A086468; Le Lionnais 1983, p. 35; Guy 1994, p. 257)，其中 是黎曼 zeta 函式。這些恆等式源於類似的恆等式

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