主題
Search

超幾何級數

超幾何級數 sum_(k)c_k 是一個級數，其中 c_0=1 並且連續項的比率是求和指標 k 的有理函式，即，滿足以下條件：

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k)),
(1)

其中 P(k) 和 Q(k) 是多項式。在這種情況下，c_k 稱為超幾何項 (Koepf 1998, p. 12)。由超幾何級數生成的函式稱為超幾何函式，或更一般地，稱為廣義超幾何函式。如果多項式被完全分解，則連續項的比率可以寫成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1)),
(2)

其中分母中的因子 k+1 出於歷史符號的原因而存在，並且得到的廣義超幾何函式寫為

_pF_q[a_1 a_2 ... a_p; b_1 b_2 ... b_q;x]=sum_(k=0)c_kx^k.
(3)

如果 p=2 並且 q=1，則該函式變為傳統的超幾何函式 _2F_1(a,b;c;x)。

透過檢查生成超幾何級數中連續項的比率，可以將許多和寫成廣義超幾何函式。

另請參閱

二項式和, 廣義超幾何函式, 幾何級數, 超幾何函式, 超幾何恆等式, 超幾何項

使用 探索

參考文獻

Ishkhanyan, T. "超幾何函式：從尤拉到阿佩爾及更遠。" Jan. 25, 2024. https://blog.wolfram.com/2024/01/25/hypergeometric-functions-from-euler-to-appell-and-beyond/.Koepf, W. 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. "超幾何級數”，“如何識別級數為超幾何級數”和“識別超幾何級數的軟體”。 §3.2-3.4 in A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 34-42, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 中被引用

超幾何級數

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "超幾何級數。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HypergeometricSeries.html

學科分類