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Franel 數

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Franel 數是指以下數字

Fr_n=sum_(k=0)^n(n; k)^3,
(1)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數。 n=0, 1, ... 的前幾個值是 1, 2, 10, 56, 346, ... (OEIS A000172)。 它們出現在第一個 Strehl 恆等式 中

sum_(k=0)^n(n; k)^3=sum_(k=0)^n(n; k)^2(2k; n),
(2)

並且可以寫成閉合形式：

Fr_n=_3F_2(-n,-n,-n;1,1;-1),
(3)

其中 _3F_2(a,b,c;d,e;z) 是一個 廣義超幾何函式。

它們由以下積分給出

Fr_n=(-1)^nint_0^inftye^(-x)[L_n(x)]^3dx,
(4)

其中 L_n(x) 是一個 拉蓋爾多項式。

它們也由以下遞推方程給出

a_n=((7n^2-7n+2)a_(n-1)+8(n-1)^2a_(n-2))/(n^2)
(5)

其中 a_0=1 和 a_1=2。

另請參閱

Apéry 常數, 二項式和, Schmidt 問題, Strehl 恆等式

使用 探索

參考文獻

Askey, R. Orthogonal Polynomials and Special Functions. Philadelphia, PA: SIAM, p. 43, 1975.Barrucand, P. "Problem 75-4: A Combinatorial Identity." SIAM Rev. 17, 168, 1975.Cusick, T. W. "Recurrences for Sums of Powers of Binomial Coefficients." J. Combin. Th. A 52, 77-83, 1989.Franel, J. "On a Question of Laisant." L'intermédiaire des mathématiciens 1, 45-47, 1894.Franel, J. "On a Question of J. Franel." L'intermédiaire des mathématiciens 2, 33-35, 1895.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 193, 1980.Schmidt, A. L. "Generalized q-Legendre Polynomials." J. Comput. Appl. Math. 49, 243-249, 1993.Schmidt, A. L. "Legendre Transforms and Apéry's Sequences." J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000172/M1971 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

Franel 數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Franel 數。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/FranelNumber.html

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