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施密特問題

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施密特 (1993) 提出了一個問題，即對於任何整數 r>=2，由二項式和定義的數列 {c_k^((r))}_(k=1)^infty 是否都是整數。

sum_(k=0)^n(n; k)^r(n+k; k)^r=sum_(k=0)^n(n; k)(n+k; k)c_k^((r))
(1)

都是整數。

下表給出了對於小的 r，sum_(k=0)^(n)(n; k)^r(n+k; k)^r 的前幾個值。

rOEIS值
1A0018501, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ...
2A0052591, 5, 73, 1445, 33001, 819005, ...
3A0928131, 9, 433, 36729, 3824001, 450954009, ...
4A0928141, 17, 2593, 990737, 473940001, ...
5A0928151, 33, 15553, 27748833, 61371200001, ...

Strehl（1993、1994）和 Schmidt（1995）證明了 r=2 的情況，對應於 Franel 數。 Strehl（1994）還找到了 r=3 情況的顯式表示式。 因此，r=2,3 的結果恆等式被稱為 Strehl 恆等式。 Graham 等人（1994，第 256 頁和 549 頁）重述了這個問題，他們指出 H. S. Wilf 已證明對於 n<=9 的任何 r，c_n^((r)) 是整數 (Zudilin 2004)。

Zudilin (2004) 肯定地回答了這個問題，他找到了所有 c_n^((r)) 的顯式表示式。 特例包括

c_n^((2))=sum_(j=0)^(n)(n; j)^3
(2)
=sum_(j=0)^(n)(n; j)^2(2j; n)
(3)
c_n^((3))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^2(2j; n-j)(n; j)^2
(4)
c_n^((4))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^3(n; j)sum_(k=0)^(n)(k+j; k-j)(j; n-k)(k; j)(2j; k-j)
(5)
c_n^((5))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^4(n; j)^2sum_(k=0)^(n)(k+j; k-j)^2(2j; n-k)(2j; k-j),
(6)

其中 r>5 的值由下式給出

c_n^((2s))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^(2s-1)(n; j)sum_(k_1=0)^(n)(j; n-k_1)(k_1; j)(k_1+j; k_1-j)sum_(k_2=0)^(n)(2j; k_1-k_2)(k_2+j; k_2-j)^2...sum_(k_(s-1)=0)^(n)(2j; k_(s-2)-k_(s-1))(k_(s-1)+j; k_(s-1)-j)^2(2j; k_(s-1)-j)
(7)
c_n^((2s+1))=sum_(j=0)^(n)(2j; j)^(2s)(n; j)sum_(k_1=0)^(n)(2j; n-k_1)(k_1+j; k_1-j)^2sum_(k_2=0)^(n)(2j; k_1-k_2)(k_2+j; k_2-j)^2...sum_(k_(s-1)=0)^(n)(2j; k_(s-2)-k_(s-1))(k_(s-1)+j; k_(s-1)-j)^2(2j; k_(s-1)-j)
(8)

(Zudilin 2004)。

下表總結了小 r 的 c_n^((r)) 序列。 請注意，c_n^((2)) 正好是 Franel 數。

rOEIS{c_n^((r))}
2A0001721, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, ...
3A0006581, 4, 68, 1732, 51076, 1657904, 57793316, ...
4A0928681, 8, 424, 48896, 6672232, 1022309408, ...

另請參閱

Apéry 數, 二項式和, Franel 數, Strehl 恆等式

使用 探索

參考文獻

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Schmidt, A. L. "Generalized q-Legendre Polynomials." J. Comput. Appl. Math. 49, 243-249, 1993.Schmidt, A. L. "Legendre Transforms and Apéry's Sequences." J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58, 358-375, 1995.Sloane, N. J. A. Sequences A000172/M1971, A001850/M2942, A005259/M4020, A000658, A092813, A092814, A092815, and A092868 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Strehl, V. "Binomial Sums and Identities." Maple Technical Newsletter 10, 37-49, 1993.Strehl, V. "Binomial Identities--Combinatorial and Algorithmic Aspects." Discrete Math. 136, 309-346, 1994.Zudilin, W. "On a Combinatorial Problem of Asmus Schmidt." Elec. J. Combin. 11, R22, 1-8, 2004. http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r22.html.

在 上被引用

施密特問題

引用為

Weisstein, Eric W. "施密特問題。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/SchmidtsProblem.html

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