主題
Search

q-二項式係數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

所述 q-二項式係數是 q-模擬 對於 二項式係數，也稱為高斯係數或高斯多項式。一個 q-二項式係數由下式給出

[n; m]_q=((q)_n)/((q)_m(q)_(n-m))=product_(i=0)^(m-1)(1-q^(n-i))/(1-q^(i+1)),
(1)

其中

(q)_k=product_(m=1)^infty(1-q^m)/(1-q^(k+m))
(2)

是一個 q-級數 (Koepf 1998, p. 26)。對於 k,n in N,

[n; k]_q=([n]_q!)/([k]_q![n-k]_q!),
(3)

其中 [n]_q! 是一個 q-階乘 (Koepf 1998, p. 30)。所述 q-二項式係數也可以根據 q-括號 [k]_q 定義為

[n; k]_q={product_(i=1)^(k)([n-i+1]_q)/([i]_q) for 0<=k<=n; 0 otherwise.
(4)

所述 q-二項式在 Wolfram 語言 中實現為QBinomial[n, m, q].

對於 q->1^-，所述 q-二項式係數變為通常的 二項式係數。

特殊情況

[n]_q=[n; 1]_q=(1-q^n)/(1-q)
(5)

有時被稱為 q-括號。

所述 q-二項式係數滿足遞推方程

[n+1; k]_q=q^k[n; k]_q+[n; k-1]_q,
(6)

對於所有 n>=1 和 1<=k<=n，因此每個 q-二項式係數都是 q 的多項式。前幾個 q-二項式係數是

[2; 1]_q=(1-q^2)/(1-q)=1+q
(7)
[3; 1]_q=[3; 2]_q=(1-q^3)/(1-q)=1+q+q^2
(8)
[4; 1]_q=[4; 3]_q=(1-q^4)/(1-q)=1+q+q^2+q^3
(9)
[4; 2]_q=((1-q^3)(1-q^4))/((1-q)(1-q^2))=1+q+2q^2+q^3+q^4.
(10)

從定義中，可以得出

[n; 1]_q=[n; n-1]_q=sum_(i=0)^(n-1)q^i.
(11)

其他恆等式包括

([n+1; k+1]_q)/([n; k+1]_q)=(1-q^(n+1))/(1-q^(n-k))
(12)
([n+1; k+1]_q)/([n+1; k]_q)=(1-q^(n-k+1))/(1-q^(k+1)).
(13)

所述 q-二項式係數 [n; m]_q 可以透過構建 m-子集的所有 {1,2,...,n}，對每個子集的元素求和，並取和

[n; m]_q=sum_(i)q^(s_i-m(m+1)/2)
(14)

在所有子集和 s_i 上 (Kac 和 Cheung 2001, p. 19)。

qBinomial

所述 q-二項式係數 [m+n; m]_q 也可以解釋為 q 的多項式，其係數 q^k 計算適合 m×n 矩形內的 k 個元素的不同分割槽的數量。例如，下表給出了 1、2、3 和 4 的分割槽。

n分割槽
0{}
1{{1}}
2{{2},{1,1}}
3{{3},{2,1},{1,1,1}}
4{{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}}

其中， {}, {1}, {2}, {1,1}, {2,1}，和 {2,2} 適合 2×2 的框。元素個數分別為 0、1、2、3 和 4 的計數分別是 1、1、2、1 和 1，因此 (4, 2)-二項式係數由下式給出

[4; 2]_q=1+q+2q^2+q^3+q^4,
(15)

如上所示。

另請參閱

二項式係數, 柯西二項式定理, 網格陰影問題, q-括號, q-級數, Stieltjes-Wigert 多項式

使用 探索

參考

Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Kac, V. Cheung, P. Quantum Calculus. New York:Springer-Verlag, 2001.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "The q-Gamma Function and the q-Binomial Coefficient." §0.3 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 26, 1998.

在 上被引用

q-二項式係數

引用為

Weisstein, Eric W. “q-二項式係數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/q-BinomialCoefficient.html

主題分類