q-模擬

q-模擬，也稱為 q-擴張 或 q-推廣，是由量 q 引數化的數學表示式，它推廣了已知的表示式，並在極限 q->1^- 時簡化為已知的表示式。 階乘、二項式係數、導數、積分、斐波那契數等等都有 q-模擬。 Koornwinder、Suslov 和 Bustoz 甚至設法進行了一些 q-傅立葉分析。 請注意，雖然歐洲作家通常更喜歡英式拼寫 “q-analogue”（Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 7; Koepf 1998, p. 26），但美國作家更喜歡較短的 “q-analog”（Andrews et al. 1999, pp. 490 和 496）。 為了避免這種歧義（以及有時存在不止一個 q-模擬的缺陷），術語 q-擴張（Andrews et al. 1999, pp. 483, 485, 487 等）可能更可取。

q-模擬基於以下觀察：

(1)

數量 有時寫為 (Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 7)。 q-模擬為所有 正交多項式的 Askey-Wilson 分類提供了基礎。

透過推廣規範對易關係，可以為 q-特殊函式 提供物理動機

(2)

其中 是廣義座標， 是相應的廣義動量，推廣到

(3)

例如，這立即導致 埃爾米特多項式的 q-模擬。 q-模擬保留（或僅略微改變）控制函式方程的形式，因此出現在許多物理應用中，例如統計力學中的精確模型、非交換幾何和多粒子系統。

q-模擬也具有組合解釋，基於可以計數集合 的元素以獲得數量 這一事實。 然後可以定義所謂的“統計量”，它是在 上的整數值函式，並根據 在元素上取的值將 的元素分成類。 這種關係可以用在新變數（通常取為 ）中編寫多項式來概括，其中 的係數是 。 然後在 處評估多項式會將係數加在一起，返回原始的 。

數學物件的 q-模擬 通常稱為 “q-物件”，因此有 q-二項式係數、q-階乘 等等。 如果存在 q-模擬，則通常有幾個，有時甚至有多基模擬，具有獨立的 、、....。 也定義了其他型別的模擬，例如 d-模擬。