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q-Pochhammer 符號

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Pochhammer 符號的 q-模擬，定義為

(a;q)_k={product_(j=0)^(k-1)(1-aq^j) if k>0; 1 if k=0; product_(j=1)^(|k|)(1-aq^(-j))^(-1) if k<0; product_(j=0)^(infty)(1-aq^j) if k=infty
(1)

（Koepf 1998, p. 25）。 q-Pochhammer 符號常被稱為 q-級數，為了簡潔起見， (a;q)_n 通常簡寫為 (a)_n。請注意，這種簡寫方式有一個略微奇怪的副作用，即引數不是字面意義上的，例如 (-q)_n 指的是 (-q;q)_n，而不是 (-q;-q)_n (參見 Andrews 1986b)。

q-Pochhammer 符號 (a;q)_n 在 Wolfram 語言中被實現為QPochhammer[a, q, n]，特殊情況 (a;q)_infty 和 (q;q)_infty 分別表示為QPochhammer[a, q] 和QPochhammer[q]。

qSeriesReal
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令 n->infty 得到特殊情況 (q)_infty，有時被稱為“尤拉函式” phi(q)，定義為

(q)_infty=(q;q)_infty
(2)
=product_(k=1)^(infty)(1-q^k).
(3)

這個函式與五邊形數定理以及其他相關的優美和/積恆等式密切相關。如上所述，它在 Mathematica 中被實現為QPochhammer[q]。正如在上面的圖中可以看到的，沿著實軸， (q)_infty 達到最大值 (q^*)_infty=1.2283488670385... (OEIS A143440)，在值 q^*=-0.4112484... (OEIS A143441) 處。

一般的 q-Pochhammer 符號由以下求和式給出

sum_(k=0)^n(-a)^kq^((k; 2))[n; k]_q=(a;q)_n,
(4)

其中 [n; k]_q 是一個 q-二項式係數（Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 11）。

它與 Dedekind eta 函式密切相關，

(q^_)_infty=q^_^(-1/24)eta(tau),
(5)

其中 tau 是半週期比，q^_=e^(2piitau) 是 nome 的平方 (Berndt 1994, p. 139)。用特殊函式表示的其他形式包括

(q)_infty=3^(-1/2)q^(-1/24)theta_2(1/6pi,q^(1/6))
(6)
=2^(-1/3)q^(-1/24)[theta_1^'(sqrt(q))]^(1/3)
(7)

其中 theta_n(z,q) 是 Jacobi theta 函式（在後一種情況下，必須注意主值立方根的定義）。

q-Pochhammer 符號的漸近結果包括

(q)_infty=sqrt((2pi)/t)exp(-(pi^2)/(6t)+t/(24))+o(1)
(8)
(q^2;q^2)_infty=sqrt(pi/t)exp(-(pi^2)/(12t)+t/(12))+o(1)
(9)
(q;q^2)_infty=((q)_infty)/((q^2;q^2)_infty)=sqrt(2)exp(-(pi^2)/(12t)-t/(24))+o(1)
(10)

對於 q=e^(-t) (Watson 1936, Gordon 和 McIntosh 2000)。

對於 q->1^-,

lim_(q->1^-)((q^alpha;q)_k)/((1-q)^k)=(alpha)_k
(11)

給出通常的 Pochhammer 符號 (alpha)_n（Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 7）。q-Pochhammer 符號也稱為 q-移位階乘（Koekoek 和 Swarttouw 1998, pp. 8-9）。

q-Pochhammer 符號滿足

(a;q)_n=((a;q)_infty)/((aq^n;q)_infty)
(12)
(1-aq^(2n))/(1-a)=((qsqrt(a);q)_n(-qsqrt(a);q)_n)/((sqrt(a);q)_n(-sqrt(a);q)_n)
(13)
(a;q)_n(-a;q)_n=(a^2;q^2)_n
(14)
(a;q)_n=(q^(1-n)/a;q)_n(-a)^nq^((n; 2))
(15)
(a;q^(-1))_n=(a^(-1);q)_n(-a)^nq^(-(n; 2))
(16)
(a;q)_(-n)=1/((aq^(-n);q)_n)=((-q/a)^n)/((q/a;q)_n)q^((n; 2)),
(17)

（這裡， (n; k) 是一個 二項式係數，所以 (n; 2)=n(n-1)/2），以及許多其他恆等式，其中一些由 Koekoek 和 Swarttouw (1998, p. 9) 給出。

廣義 q-Pochhammer 符號可以使用簡潔的符號表示定義為

(a_1,a_2,...,a_r;q)_infty=(a_1;q)_infty(a_2;q)_infty...(a_r;q)_infty
(18)

（Gordon 和 McIntosh 2000）。

q-括號

[n]_q=[n; 1]_q
(19)

和 q-二項式

[n]_q!=product_(k=1)^n[k]_q
(20)

符號有時也在討論 q-級數時使用，其中 [n; 1]_q 是一個 q-二項式係數。

另請參閱

Borwein 猜想, Dedekind Eta 函式, Fine 方程, Jackson 恆等式, Jacobi 恆等式, Mock Theta 函式, Pochhammer 符號, q-模擬, q-二項式係數, q-二項式定理, q-餘弦, q-階乘, Q-函式, q-Gamma 函式, q-超幾何函式, q-多項式係數, q-級數, q-級數恆等式, q-正弦, Ramanujan Psi 和, Ramanujan Theta 函式, Rogers-Ramanujan 恆等式

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參考文獻

Andrews, G. E. q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986a.Andrews, G. E. "The Fifth and Seventh Order Mock Theta Functions." Trans. Amer. Soc. 293, 113-134, 1986b.Andrews, G. E. The Theory of Partitions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Berndt, B. C. "q-Series." 第 27 章 in Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York:Springer-Verlag, pp. 261-286, 1994.Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "Some Theorems on the Rogers-Ramanujan Continued Fraction in Ramanujan's Lost Notebook." Trans. Amer. Math. Soc. 352, 2157-2177, 2000.Bhatnagar, G. "A Multivariable View of One-Variable q-Series." In Special Functions and Differential Equations. Proceedings of the Workshop (WSSF97) held in Madras, January 13-24, 1997) (編 K. S. Rao, R. Jagannathan, G. van den Berghe, and J. Van der Jeugt). New Delhi, India: Allied Pub., pp. 60-72, 1998.Gasper, G. "Lecture Notes for an Introductory Minicourse on q-Series." 25 Sep 1995. http://arxiv.org/abs/math.CA/9509223.Gasper, G. "Elementary Derivations of Summation and Transformation Formulas for q-Series." In Fields Inst. Comm. 14 (Ed. M. E. H. Ismail et al. ), pp. 55-70, 1997.Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Gosper, R. W. "Experiments and Discoveries in q-Trigonometry." In Symbolic Computation, Number Theory,Special Functions, Physics and Combinatorics. Proceedings of the Conference Held at the University of Florida, Gainesville, FL, November 11-13, 1999 (編 F. G. Garvan and M. E. H. Ismail). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 79-105, 2001.Gordon, B. and McIntosh, R. J. "Some Eighth Order Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 62, 321-335, 2000.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, p. 7, 1998.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 25 and 30, 1998.Sloane, N. J. A. Sequences A143440 and A143441 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "The Final Problem: An Account of the Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 11, 55-80, 1936.

在 中被引用

q-Pochhammer 符號

請引用為

Weisstein, Eric W. "q-Pochhammer 符號。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/q-PochhammerSymbol.html

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