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q-級數

一個 q-級數是涉及以下形式係數的級數

(a;q)_n=product_(k=0)^(n-1)(1-aq^k)
(1)
=product_(k=0)^(infty)((1-aq^k))/((1-aq^(k+n)))
(2)
=((a;q)_infty)/((aq^n;q)_infty)
(3)

對於 n>=1，其中 (a;q)_infty 定義為

(a;q)_infty=product_(k=0)^infty(1-aq^k).
(4)

符號 (a;q)_infty 被稱為 q-Pochhammer 符號（Andrews 1986，第 10 頁），因為它是一個通常的 Pochhammer 符號的 q-模擬。q-級數遵守優美的性質集，並且自然地出現在分割理論中，以及數學物理的許多問題中，特別是那些列舉晶格上可能的狀態或構型數量的問題。速記符號

(a)_n=(a;q)_n
(5)

是常見的，並且符號

(q)_n=(q;q)_n=product_(k=1)^n(1-q^k)
(6)

是另一種特殊情況 (Hirschhorn 1999)。

參見

Borwein 猜想, Dedekind Eta 函式, Fine 方程, Jackson 恆等式, Jacobi 恆等式, Mock Theta 函式, q-模擬, q-二項式定理, q-餘弦, q-階乘, Q-函式, q-Gamma 函式, q-超幾何函式, q-多項式係數, q-Pochhammer 符號, q-級數恆等式, q-正弦, Ramanujan Psi 和, Ramanujan Theta 函式, Rogers-Ramanujan 恆等式

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參考文獻

Andrews, G. E. q-級數：它們在分析、數論、組合數學、物理和計算機代數中的發展和應用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.Andrews, G. E. 分割理論。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy, R. 特殊函式。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Berndt, B. C. "q-級數。" Ch. 27 in Ramanujan 的筆記本，第四部分。 New York:Springer-Verlag, pp. 261-286, 1994.Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "關於 Ramanujan 丟失筆記本中 Rogers-Ramanujan 連分式的一些定理。" 即將發表於Trans. Amer. Math. Soc.Bhatnagar, G. "一元 q-級數的多變數視角。" In 特殊函式和微分方程。1997 年 1 月 13-24 日在馬德拉斯舉行的研討會（WSSF97）會議記錄 (Ed. K. S. Rao, R. Jagannathan, G. van den Berghe, and J. Van der Jeugt). New Delhi, India: Allied Pub., pp. 60-72, 1998.Gasper, G. "q-級數入門迷你課程講義。" 1995 年 9 月 25 日。 http://arxiv.org/abs/math.CA/9509223.Gasper, G. "q-級數求和與變換公式的初等推導。" In Fields Inst. Comm. 14 (Ed. M. E. H. Ismail et al. ), pp. 55-70, 1997.Gasper, G. and Rahman, M. 基本超幾何級數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Gosper, R. W. "q-三角學中的實驗與發現。" In 符號計算、數論、特殊函式、物理和組合數學。1999 年 11 月 11-13 日在佛羅里達州蓋恩斯維爾佛羅里達大學舉行的會議記錄 (Ed. F. G. Garvan and M. E. H. Ismail). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 79-105, 2001.Hardy, G. H. and Wright, E. M. 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, 1979.Hirschhorn, M. D. "Ramanujan Mod 5 分割同餘式的另一個簡短證明，以及更多。" Amer. Math. Monthly 106, 580-583, 1999.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. 超幾何正交多項式的 Askey 方案及其 q-模擬。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, 1-168, 1998.Watson, G. N. "最終問題：Mock Theta 函式的說明。" J. London Math. Soc. 11, 55-80, 1936.Weisstein, E. W. "關於 q-級數的書籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/q-Series.html.Wolfram, S. 一種新科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

在 中引用

q-級數

引用為

Weisstein, Eric W. “q-級數。”來自 Web 資源。https://mathworld.tw/q-Series.html

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