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q-超幾何函式

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q-超幾何函式的現代定義是

_rphi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z] =sum_(n=0)^infty((alpha_1;q)_n(alpha_2;q)_n...(alpha_r;q)_n)/((beta_1;q)_n...(beta_s;q)_n)(z^n)/((q;q)_n)[(-1)^nq^((n; 2))]^(1+s-r),
(1)

其中 (n; 2)=1/2n(n-1) 是二項式係數，而是 (a;q)_n q-Pochhammer 符號（Gasper 和 Rahman 1990；Bhatnagar 1995，第 21 頁；Koepf 1998，第 25 頁）。這是在 Wolfram 語言中實現的 q-超幾何函式的版本，表示為QHypergeometricPFQ[{a1, ..., ar}, {b1, ..., bs}, q, z].

較舊的定義形式省略了因子 [(-1)^kq^((n; 2))]^(1+s-r),

_rphi_s^'[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z]=sum_(n=0)^infty((alpha_1;q)_n(alpha_2;q)_n...(alpha_r;q)_n)/((beta_1;q)_n...(beta_s;q)_n)(z^n)/((q;q)_n),
(2)

這是 Bailey (1935)、Slater (1966)、Andrews (1986) 和 Hardy (1999) 定義的 q-超幾何函式。

請注意，當 r=1+s 時，這兩個定義一致，包括常見的情況 _2phi_1(a,b;c;q)。

_rphi_s 的一個特殊情況由下式給出

_2psi_1(a,b;c;q,z)=sum_(n=0)^infty((a;q)_n(b;q)_nz^n)/((q;q)_n(c;q)_n)
(3)

（Andrews 1986，第 10 頁）。Jacobi 和 Heine 給出的高斯定理的 q-模擬（q-高斯恆等式）由下式給出

_2phi_1(a,b;c;q,c/(ab))=((c/a;q)_infty(c/b;q)_infty)/((c;q)_infty(c/(ab);q)_infty)
(4)

對於 |c/(ab)|<1（Koepf 1998，第 40 頁）。海涅證明了變換公式

_2phi_1(a,b;c;q,z)=((b;q)_infty(az;q)_infty)/((c;q)_infty(z;q)_infty)_2phi_1(c/b,z;az;q,b),
(5)

（Andrews 1986，第 10-11 頁）。Rogers (1893) 獲得了公式

_2phi_1(a,b;c;q,z)=((c/b;q)_infty(bz;q)_infty)/((z;q)_infty(c;q)_infty)_2phi_1(b,abz/c;bz;q,c/b)
(6)
_2phi_1(a,b,c;q,z)=((abz/c;q)_infty)/((z;q)_infty)_2phi_1(c/a,c/b;c;q,abz/c)
(7)

（Andrews 1986，第 10-11 頁）。

函式 _rphi_s 具有簡單的合流恆等式

lim_(alpha_r->infty)_rphi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;q,z/(alpha_r)]=_(r-1)phi_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_(r-1); beta_1,...,beta_s;q,z].
(8)

在極限 q->1^- 下，

lim_(q->1^-)_rphi_s[q^(alpha_1),q^(alpha_2),...,q^(alpha_r); q^(beta_1),...,q^(beta_s);q,(q-1)^(1+s-r)z]=_rF_s[alpha_1,alpha_2,...,alpha_r; beta_1,...,beta_s;z],
(9)

其中 _rF_s 是廣義超幾何函式（Koepf 1998，第 25 頁）。

另請參閱

廣義超幾何函式, q-Pochhammer 符號, q-Saalschütz 求和, q-級數

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. E. q-級數：它們在分析、數論、組合數學、物理學和計算機代數中的發展和應用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 第 10 頁, 1986.Bailey, W. N. "基本超幾何級數。" 第 8 章，廣義超幾何級數。Cambridge, England: Cambridge University Press, 第 65-72 頁, 1935.Bhatnagar, G. 逆關係、廣義雙基級數及其 U(n) 擴充套件。 博士論文。Ohio State University, 第 21 頁, 1995.Gasper, G. 和 Rahman, M. 基本超幾何級數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Gasper, G. "q-級數的求和與變換公式的初等推導。" 收錄於 Fields Inst. Comm. 14 (M. E. H. Ismail et al. 編), 第 55-70 頁, 1997.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 第 107-111 頁, 1999.Heine, E. "Über die Reihe 1+((q^alpha-1)(q^beta-1))/((q-1)(q^gamma-1))x +((q^alpha-1)(q^(alpha+1)-1)(q^beta-1)(q^(beta+1)-1))/((q-1)(q^2-1)(q^gamma-1)(q^(gamma+1)-1))x^2+...." J. reine angew. Math. 32, 210-212, 1846.Heine, E. "Untersuchungen über die Reihe 1+((1-q^alpha)(1-q^beta))/((1-q)(1-q^gamma))·x+((1-q^alpha)(1-q^(alpha+1))(1-q^beta)(1-q^(beta+1)))/((1-q)(1-q^2)(1-q^gamma)(1-q^(gamma+1)))·x^2+...." J. reine angew. Math. 34, 285-328, 1847.Heine, E. 球函式及其相關函數理論，卷 1。 Berlin: Reimer, 第 97-125 頁, 1878.Koepf, W. 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 第 25-26 頁, 1998.Krattenthaler, C. "HYP 和 HYPQ。" J. Symb. Comput. 20, 737-744, 1995.Rogers, L. J. "關於海涅級數元素中的三重對稱性。" Proc. London Math. Soc. 24, 171-179, 1893.Slater, L. J. 廣義超幾何函式。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

在 中被引用

q-超幾何函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "q-超幾何函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/q-HypergeometricFunction.html

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