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Fine 方程

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q-級數 恆等式

product_(n=1)^(infty)((1-q^(2n))(1-q^(3n))(1-q^(8n))(1-q^(12n)))/((1-q^n)(1-q^(24n)))=((q^2)_infty(q^3)_infty(q^8)_infty(q^(12))_infty)/((q)_infty(q^(24))_infty)
(1)
=1+sum_(k=1)^(infty)(q^k(q^(4k)+1)(q^(6k)+1))/(q^(12k)+1)
(2)
=1+sum_(n=1)^(infty)E_(1,5,7,11)(n;24)q^n
(3)
=1+sum_(n=1)^(infty)(sum_(d|n)(-6/d))q^n,
(4)

其中 (q)_infty 是一個 q-波赫哈默爾符號， E_(1,5,7,11)(n;24) 是 因子 的數量 n 與 1、5、7 和 11 (mod 24) 同餘 的數量減去 因子 的數量 n 與 同餘 於 -1, -5, -7, 和 -11 (mod 24) 的數量，並且 (-6/d) 是一個 克羅內克符號。

以 q 開頭的首幾個冪的係數，從 n=0, 1, ... 開始，是 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, ... (OEIS A000377).

參見

q-級數

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參考文獻

Andrews, G. E. (Ed.). Percy Alexander MacMahon: Collected Papers, Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, p. 260, 1986.Andrews, G. E. "Nathan Fine, 1916-1994." Not. Amer. Math. Soc. 42, 678-679, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000377 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上引用

Fine 方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "Fine 方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FinesEquation.html

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