除數 -- 來自 - 數學天地

一個數的除數，也稱為因子，是一個可以整除的數 (記作 )。對於整數，通常只考慮正除數，但顯然任何正除數的負數本身也是一個除數。給定整數的（正）除數列表可以透過 Wolfram 語言函式返回除數[n]。

求和與求積通常只針對給定數字的除數的值的子集進行。這樣的總和將表示為，例如，

(1)

這些求和在 Wolfram 語言中實現為DivisorSum[n, form, cond]。

下表列出了前幾個正整數的除數 (OEIS A027750)。

	除數
1	1
2	1, 2
3	1, 3
4	1, 2, 4
5	1, 5
6	1, 2, 3, 6
7	1, 7
8	1, 2, 4, 8
9	1, 3, 9
10	1, 2, 5, 10
11	1, 11
12	1, 2, 3, 4, 6, 12
13	1, 13
14	1, 2, 7, 14
15	1, 3, 5, 15

給定數字的除數的總數（可以寫為 , , 或 ) 可以按如下方式找到。將數字寫成其素因數分解的形式

(2)

對於的任何除數，其中

(3)

所以

(4)

現在，，所以有個可能的值。類似地，對於，有個可能的值，因此的除數的總數由下式給出

(5)

除數的乘積可以透過將數字寫成所有可能的乘積來找到

$n={d^((1))d^('(1)); |; d^((nu))d^('(nu)),$

(6)

所以

			(7)
			(8)
			(9)

和

(10)

除數的幾何平均值是

			(11)
			(12)
			(13)

算術平均值是

(14)

調和平均值是

(15)

但是，所以並且

			(16)
			(17)
			(18)

我們有

(19)

(20)

給定三個隨機選擇的整數，它們沒有公約數的機率是

(21)

其中是 Apéry 常數。

恰好有 0、1、2、... 個除數（除了 1 之外）的最小數字是 1、2、4、6、16、12、64、24、36、... (OEIS A005179; Minin 1883-84; Grost 1968; Roberts 1992, p. 86; Dickson 2005, pp. 51-52)。 Fontené (1902) 和 Chalde (1903) 表明，如果是除數個數為給定值的最小數字的素因數分解，則 (1) 是素數，(2) 是素數，但數字（有 8 個除數）除外 (Dickson 2005, p. 52)。