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調和平均數


調和平均數 H(x_1,...,x_n)n 數字 x_i (其中 i=1, ..., n) 是由下式定義的數字 H

 1/H=1/nsum_(i=1)^n1/(x_i).
(1)

可以使用 Wolfram 語言 計算數字列表的調和平均數,使用HarmonicMean[list].

因此,n=2 和 n=3 的特殊情況由下式給出

H(x_1,x_2)=(2x_1x_2)/(x_1+x_2)
(2)
H(x_1,x_2,x_3)=(3x_1x_2x_3)/(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),
(3)

等等。

從 1 到 n 的整數的調和平均數,對於 n=1, 2, ... 是 1, 4/3, 18/11, 48/25, 300/137, 120/49, 980/363, ... (OEIS A102928A001008)。

對於 n=2,調和平均數與算術平均數 A幾何平均數 G 的關係為

 H=(G^2)/A
(4)

(Havil 2003, p. 120)。

調和平均數是冪平均的特殊情況 M_(-1),並且是畢達哥拉斯平均數之一。在較舊的文獻中,有時稱為次反平均數。

圓柱容器的高度 h 和半徑 r體積表面積之比,以及一般曲面的平均曲率與調和平均數有關。

Hoehn 和 Niven (1985) 表明

 H(a_1+c,a_2+c,...,a_n+c)>c+H(a_1,a_2,...,a_n)
(5)

對於任何正數常數 c


另請參閱

算術平均數, 算術-幾何平均數, 幾何平均數, 調和-幾何平均數, 調和範圍, 冪平均數, 畢達哥拉斯平均數, 均方根

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). 數學函式手冊,包含公式、圖表和數學表格,第 9 版。 New York: Dover, p. 10, 1972.Havil, J. Gamma:探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 119-121, 2003.Hoehn, L. 和 Niven, I. "移動平均數。" Math. Mag. 58, 151-156, 1985.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "調和平均數。" §4.13 in 統計數學,第 1 部分,第 3 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 57-58, 1962.Sloane, N. J. A. 數列 A001008/M2885 和 A102928 in "整數數列線上百科全書。"Zwillinger, D. (編輯). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 602, 1995.

在 中被引用

調和平均數

請引用為

Weisstein, Eric W. "調和平均數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HarmonicMean.html

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