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冪平均

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冪平均是以下形式的均值

M_p(a_1,a_2,...,a_n)=(1/nsum_(k=1)^na_k^p)^(1/p),
(1)

其中引數 p 是一個 仿射擴充套件實數 且所有 a_k>=0。冪平均也稱為廣義平均、赫爾德平均、p 次（或階或冪）均值或冪平均。

下表總結了一些作為廣義平均特例的常用命名均值，其中

M_0(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->0)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(2)

且

M_(-infty)(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->-infty)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(3)
=min(a_1,a_2,...,a_n)
(4)
M_infty(a_1,a_2,...,a_n)=lim_(p->infty)M_p(a_1,a_2,...,a_n)
(5)
=max(a_1,a_2,...,a_n).
(6)
M_p符號均值
M_(-infty)min最小值
M_(-1)H調和平均數
M_0G幾何平均數
M_1A算術平均數
M_2RMS均方根
M_inftymax最大值
GeneralizedMeans

上面的圖透過繪製特殊值來視覺化廣義平均值

M_p(x,1)={x for p=-infty; (2x)/(1+x) for p=-1; sqrt(x) for p=0; (1+x)/2 for p=1; sqrt((1+x^2)/2) for p=2; 1 for p=infty
(7)

其中 p=-infty 為紅色，-1 為橙色，0 為黑色，1 為綠色，2 為藍色，infty 為紫色。

另請參閱

算術平均數, 幾何平均數, 調和平均數, 均值, 畢達哥拉斯平均數, 均方根

此條目部分內容由 David W. Cantrell 貢獻

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參考文獻

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. "General Means and Iterations." Ch. 8 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Bullen, P. S. "The Power Means." Ch. 3 in Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; 和 Pólya, G. Inequalities. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1952.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 121, 2003.

在 中引用

冪平均

引用為

Cantrell, David W. 和 Weisstein, Eric W. “冪平均。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/PowerMean.html

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