仿射擴充套件實數

透過將兩個非正常元素新增到實數集 獲得的集合 通常被稱為（仿射）擴充套件實數集。雖然此集合的表示法尚未完全標準化，但 是常用的表示法。該集合也可以用區間表示法寫為 。在適當的拓撲結構下， 是 的兩點 緊化（或仿射閉包）。非正常元素，仿射無窮大 和 ，對應於數線的理想點。請注意，這些非正常元素不是實數，並且此擴充套件實數系統不是一個域。

許多作者簡單地寫 而不是寫 。然而，複合符號 將在此處用於表示 的正非正常元素，從而允許單獨的符號 被明確地用於表示 的無符號非正常元素，即 的單點 緊化（或射影閉包）。

的一個非常重要的性質是 所缺乏的，即 的每個子集 都具有下確界（最大下界）和上確界（最小上界）。 特別是， 並且，如果 是上方無界的，則 。 類似地， 並且，如果 是下方無界的，則 。

可以從 將順序關係擴充套件到 ，並且可以部分擴充套件算術運算。 對於 ,

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

然而，表示式 , , 和 是未定義的。

以上定義 上的算術運算結果的陳述可以被視為關於確定性極限形式的陳述的縮寫。 例如， 可以被視為 “如果 無限增加，則 無限減小。” 的縮寫。 大多數關於 的描述也對非正常元素和 0 的乘積進行了陳述，但對於該陳述應該是什麼並沒有共識。 一些作者（例如，Kolmogorov 1995，第 193 頁）指出，像 和 一樣， 和 應該 未定義，大概是因為相應的不定極限形式的狀態。 其他作者（例如 McShane 1983，第 2 頁）接受 ，至少作為在某些上下文中非常有用的約定。

其他運算和函式的許多結果可以透過考慮確定性極限形式來獲得。 例如，對於 ，可以獲得函式 的部分擴充套件，如下所示

			(9)
			(10)
			(11)

函式 和 可以完全擴充套件到 ，其中

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

一些其他重要函式（例如， 和 ）可以擴充套件到 ，而另一些函式（例如，，）則不能。 透過考慮確定性極限形式匯出的涉及 和 的表示式的求值，通常被計算機代數語言（如 Wolfram 語言）在執行簡化時使用。

浮點運算及其兩個有符號的無窮大旨在逼近 上的算術運算 (Goldberg 1991, pp. 21-22)。