射影擴充套件實數

集合 ，透過向實數集合 新增一個非正常元素獲得，是射影擴充套件實數的集合。儘管記號並非完全標準化，但 在此被用來表示這個擴充套件實數集合。在適當的拓撲下， 是 的單點緊化（或射影閉包）。如上所示，黎曼球面的橫截面，由其“實軸”和“北極”組成，可以用來視覺化 。非正常元素，射影無窮大 ()，然後與理想點，“北極”相對應。

與仿射擴充套件實數 的有符號仿射無窮大 ( 和 ) 相比，射影無窮大 是無符號的，像 0 一樣。遺憾的是， 也是無序的，即，對於 ，既不能說 ，也不能說 。因此， 在實分析中使用得遠不如 頻繁。因此，如果上下文未明確指定，“擴充套件實數”通常指的是 ，而不是 。

算術運算可以從 部分擴充套件到 ，

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

（相比之下，在 中， 是未定義的）。表示式 和 在 中最常被未定義。

指數函式 不能擴充套件到 。另一方面，當處理有理函式和某些其他函式時， 是有用的。例如，如果將 用作 的值域，那麼透過取 對於整數 ，該函式的定義域可以擴充套件到所有 。

上面的圖示顯示了 上的兩個區間。其中一個是集合 使得 ，當然可以使用常用的區間表示法方便地寫成 。但是另一個區間，由 組成（可以被認為是仿射擴充套件的兩個有符號無窮大 的“合併”），以及所有實數 ，使得 或 ，不能使用常用的符號如此方便地表示。

如果不是因為這些區間出現在允許區間除以包含 0 的區間的 區間算術系統中，這可能不會引起太多興趣。例如，考慮 。這個除法可以在 Wolfram 語言中使用以下程式碼執行Interval[6,7]/Interval[-3,2]，這會產生Interval[-Infinity, -2, 3, Infinity]。這表示 ，仿射擴充套件中兩個區間的並集。但是，如上圖所示，射影擴充套件中的對應集合是單個區間，如果能夠這樣表示它會很好。已經提出了各種表示這種區間的約定。根據一種約定（Reinsch 1982，第 88-89 頁），在表示 的數圓上，令 表示從 到 沿逆時針方向追蹤的閉區間。根據這個定義，例如， 保留了其先前的含義。但是，即使當 時，該定義也適用，允許將上述區間除法的答案簡明地寫為 。