上確界是集合 set 
的最小上界，定義為一個量 
，使得集合中沒有元素超過 
，但如果 
是任何 positive 量，無論多麼小，都存在一個元素超過 
(Jeffreys and Jeffreys 1988)。當它存在時（此定義不要求它存在，例如，
不存在），它被表示為 
(或有時簡寫為 
)。上確界在 Wolfram Language 中實現為MaxValue[f, constr, vars].
更正式地，對於仿射擴充套件實數 affinely extended real numbers 
的 (nonempty) subset 
，上確界 
是最小的值 
，使得對於所有 
，我們有 
。使用這個定義，
總是 存在，特別地，
。
只要上確界存在，其值是唯一的。在 real line 上，一個集合的上確界與其 set closure 的上確界相同。
考慮具有通常順序的實數。那麼對於任何集合 
，上確界 
存在 (在 
中) 當且僅當 
有上界且非空。
