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Mock Theta 函式

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在他給 Hardy 的最後一封信中，拉馬努金定義了 17 個類似於 Jacobi theta 函式的函式 F(q)，其中 |q|<1，他稱之為“mock theta 函式”（Watson 1936ab，Ramanujan 1988，pp. 127-131；Ramanujan 2000，pp. 354-355）。這些函式是具有指數奇點的 q-級數，使得對於某個冪 t^N，自變數終止。特別地，如果 f(q) 不是 Jacobi theta 函式，那麼如果對於每個單位根 rho，存在形式為的近似

f(q)=sum_(mu=1)^Mt^(k_mu)exp(sum_(nu=-1)^Nc_(munu)t^nu)+O(1)
(1)

當 t->0^+ 且 q=rhoe^(-t) 時 (Gordon 和 McIntosh 2000)。

此外，如果對於每個單位根 rho，存在模形式 h_j^((rho))(q) 和實數 alpha_j 和 1<=j<=J(rho) 使得

f(q)-sum_(j=1)^(J(rho))q^(alpha_j)h_j^((rho))(q)
(2)

當 q 沿徑向接近 rho 時有界，則稱 f(q) 為強 mock theta 函式 (Gordon 和 McIntosh 2000)。

拉馬努金在他的“遺失的筆記本”中又發現了三個 mock theta 函式，隨後 Watson (1936ab) 重新發現了它們。拉馬努金遺失的筆記本第 15 頁上的第一個公式將 Watson 稱為 rho(-q) 和 omega(-q) 的函式（等同於 Watson 1936 年論文第 63 頁上的第三個公式）聯絡起來，而遺失的筆記本第 31 頁上的最後一個公式將 Watson 稱為 nu(-q) 和 omega(q^2) 的函式（等同於 Watson 論文第 63 頁上的第四個公式）聯絡起來。這些函式以及拉馬努金最初的 17 個函式的階數均為 3、5 或 7。

拉馬努金的“遺失的筆記本”還包含幾個 6 階和 10 階的 mock theta 函式，但拉馬努金並未明確將其標識為 mock theta 函式。現在已經對其屬性進行了詳細研究 (Andrews 和 Hickerson 1991, Choi 1999)。

遺憾的是，雖然已知的恆等式清楚地表明“階”為 n 的 mock theta 函式與數字 n 相關，但尚不清楚 mock theta 函式階的正式定義。因此，當應用於 mock theta 函式時，“階”一詞必須僅被視為一個方便的標籤 (Andrews 和 Hickerson 1991)。

3 階 mock theta 函式的完整列表是

f(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((1+q)^2(1+q^2)^2...(1+q^n)^2)
(3)
phi(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((1+q^2)(1+q^4)...(1+q^(2n)))
(4)
psi(q)=sum_(n=1)^(infty)(q^(n^2))/((1-q)(1-q^3)...(1-q^(2n-1)))
(5)
chi(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((1-q+q^2)(1-q^2+q^4)...(1-q^n+q^(2n)))
(6)
omega(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(2n(n+1)))/((1-q)^2(1-q^3)^2...(1-q^(2n+1))^2)
(7)
nu(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n(n+1)))/((1+q)(1+q^3)...(1+q^(2n+1)))
(8)
rho(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(2n(n+1)))/((1+q+q^2)(1+q^3+q^6)...(1+q^(2n+1)+q^(4n+2))),
(9)

其中 omega(q), nu(q), 和 rho(q) 歸功於 Watson (1936ab; Dragonette 1952)。請注意，mu(q) 的級數不收斂，但偶數和奇數部分和的級數收斂，因此通常將 mu(q) 視為這兩個值的平均值 (Andrews 和 Hickerson 1991)。

下表總結了這些級數的前幾項。Dragonette (1952) 特別考慮了 f(q)，他表明 f(q) 的級數的係數 A(n) 滿足

A(n)=sum_(r=0)^nP(r)gamma(n-r),
(10)

其中 P(r) 是一個分拆函式 P，gamma(r) 是序列 1, 0, -4, 4, -4, 4, -4, 8, -4, 8, -4, ... (OEIS A064053)，對於 r=0, 1, ....

函式OEIS級數
f(q)A0000251, 1, -2, 3, -3, -5, 7, -6, 6, ...
phi(q)A0532501, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 0, 2, ...
psi(q)A0532510, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, ...
chi(q)A0532521, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, ...
omega(q)A0532531, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, ...
nu(q)A0532541, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, ...
rho(q)A0532551, -1, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, ...

Watson (1936ab) 證明了連線拉馬努金 mock theta 函式的基本關係，

2phi(-q)-f(q)=f(q)+4psi(-q)=theta_4(0,q)product_(r=1)^(infty)(1+q^r)^(-1)
(11)
4chi(q)-f(q)=3theta_4^2(0,q^3)product_(r=1)^(infty)(1-q^r)^(-1)
(12)
2rho(q)+omega(q)=3[1/2q^(-3/8)theta_2(0,q^(3/2))]^2product_(r=1)^(infty)(1-q^(2r))^(-1)
(13)
nu(+/-q)+/-qomega(q^2)=1/2q^(-1/4)theta_2(0,q)product_(r=1)^(infty)(1+q^(2r)),
(14)

其中 theta_i(z,q) 是 Jacobi theta 函式 (Dragonette 1952)。

拉馬努金 (2000, pp. 354-355) 給出了 10 個 5 階 mock theta 函式，由下式給出

f_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((-q)_n)
(15)
F_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(2n^2))/((q;q^2)_n)
(16)
1+2psi_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(-1;q)_nq^((n+1; 2))
(17)
phi_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(-q;q^2)_nq^(n^2)
(18)
f_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2+n))/((-q)_n)
(19)
F_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(2n^2+2n))/((q;q^2)_(n+1))
(20)
psi_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(-q)_nq^((n+1; 2))
(21)
phi_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(-q;q^2)_nq^((n+1)^2)
(22)
chi_0(q)=2F_0(q)-phi_0(-q)
(23)
chi_1(q)=2F_1(q)+q^(-1)phi_1(-q)
(24)

(Andrews 1986)。請注意，這裡的符號遵循標準約定 (-q)_n=(-q;q)_n。

拉馬努金給出了七個 6 階 mock theta 函式，由下式給出

phi(q)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nq^(n^2)(q;q^2)_n)/((-q)_(2n))
(25)
psi(q)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nq^((n+1)^2)(q;q^2)_n)/((-q)_(2n+1))
(26)
rho(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^((n+1; 2))(-q)_n)/((q;q^2)_(n+1))
(27)
sigma(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^((n+2; 2))(-q)_n)/((q;q^2)_(n+1))
(28)
lambda(q)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nq^n(q;q^2)_n)/((-q)_n)
(29)
mu(q)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(q;q^2)_n)/((-q)_n)
(30)
gamma(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2)(q)_n)/((q^3;q^3)_n)
(31)

(Andrews 和 Hickerson 1991)。

拉馬努金 (2000, p. 355) 還給出了三個 7 階 mock theta 函式，由下式給出

F_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((q^(n+1))_n)
(32)
F_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2))/((q^n)_n)
(33)
F_2(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2+n))/((q^(n+1))_(n+1))
(34)

(Andrews 1986)。

Gordon 和 McIntosh (2000) 發現了八個 8 階 mock theta 函式，

S_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2)(-q;q^2)_n)/((-q^2;q^2)_n)
(35)
S_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n(n+2))(-q;q^2)_n)/((-q^2;q^2)_n)
(36)
T_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^((n+1)(n+2))(-q^2;q^2)_n)/((-q;q^2)_(n+1))
(37)
T_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n(n+1))(-q^2;q^2)_n)/((-q;q^2)_(n+1))
(38)
U_0(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2)(-q;q^2)_n)/((-q^4;q^4)_n)
(39)
U_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^((n+1)^2)(-q;q^2)_n)/((-q^2;q^4)_(n+1))
(40)
V_0(q)=-1+2sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2)(-q;q^2)_n)/((q;q^2)_n)
(41)
=-1+2sum_(n=0)^(infty)(q^(2n^2)(-q^2;q^4)_n)/((q;q^2)_(2n+1))
(42)
V_1(q)=sum_(n=0)^(infty)(q^((n+1)^2)(-q;q^2)_n)/((q;q^2)_(n+1))
(43)
=sum_(n=0)^(infty)(q^(2n^2+2n+1)(-q^4;q^4)_n)/((q;q^2)_(2n+2)).
(44)

另請參閱

Jacobi Theta 函式, Mordell 積分, q-級數

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. E. "The Fifth and Seventh Order Mock Theta Functions." Trans. Amer. Soc. 293, 113-134, 1986.Andrews, G. E. "Mock Theta Functions." Proc. Sympos. Pure Math. 49, 283-298, 1989.Andrews, G. E. and Berndt, B. Ramanujan's Lost Notebook, Part I. New York: Springer, 2005.Andrews, G. E. and Hickerson, D. "Ramanujan's 'Lost' Notebook VII: The Sixth Order Mock Theta Functions." Adv. Math. 89, 60-105, 1991.Bellman, R. E. A Brief Introduction to Theta Functions. New York: Holt, Rinehart, and Winston, p. 51, 1961.Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 220-224, 1995.Choi, Y.-S. "Tenth Order Mock Theta Functions in Ramanujan's Lost Notebook." Invent. Math. 136, 497-569, 1999.Dragonette, L. A. "Some Asymptotic Formulae for the Mock Theta Series of Ramanujan." Trans. Amer. Math. Soc. 73, 474-500, 1952.Gordon, B. and McIntosh, R. J. "Some Eighth Order Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 62, 321-335, 2000.Gordon, B. and McIntosh, R. J. "Modular Transformations of Ramanujan's Fifth and Seventh Order Mock Theta Functions." Ramanujan J. 7, 193-222, 2003.Ramanujan, S. The Lost Notebook and Other Unpublished Manuscripts. New Delhi, India: Narosa, 1988.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Selberg, A. "Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung." Arch. Math. og Naturvidenskab 41, 3-15, 1938.Sloane, N. J. A. Sequences A000025/M0433, A053250, A053251, A053252, A053253, A053254, A053255, and A064053 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "The Final Problem: An Account of the Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 11, 55-80, 1936a.Watson, G. N. "The Mock Theta Function (I)." J. London Math. Soc. 11, 55-80, 1936b.Watson, G. N. "The Mock Theta Function (II)." Proc. London Math. Soc. 42, 274-304, 1937.

在 中被引用

Mock Theta 函式

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "Mock Theta 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MockThetaFunction.html

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