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q-伽瑪函式

伽瑪函式的 q-模擬，定義為

Gamma_q(x)=((q;q)_infty)/((q^x;q)_infty)(1-q)^(1-x),
(1)

其中 (x,q)_infty 是 q-Pochhammer 符號 (Koepf 1998, p. 26; Koekoek 和 Swarttouw 1998)。 q-伽瑪函式滿足

lim_(q->1^-)Gamma_q(x)=Gamma(x),
(2)

其中 Gamma(z) 是伽瑪函式 (Andrews 1986)。

q-伽瑪函式在 Wolfram 語言 中實現為QGamma[z, q].

q-伽瑪函式滿足以下泛函方程

Gamma_q(z+1)=(1-q^z)/(1-q)Gamma_q(z)
(3)

其中 Gamma_q(1)=1 (Koekoek 和 Swarttouw 1998, p. 10)，簡化為

Gamma(z+1)=zGamma(z)
(4)

當 q->1^- 時。 關於泛函方程的一個有趣的恆等式

f(a-b)f(a-c)f(a-d)f(a-e)-f(b)f(c)f(d)f(e) =q^bf(a)f(a-b-c)f(a-b-d)f(a-b-e),
(5)

其中

b+c+d+e=2a
(6)

由下式給出

f(alpha)={sin(kalpha) for q=1; 1/(Gamma_q(alpha)Gamma_q(1-alpha)) for 0<q<1,
(7)

對於任何 k。

另請參閱

伽瑪函式, q-貝塔函式, q-階乘, q-Pochhammer 符號

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. E. "W. Gosper 證明 lim_(q->1^-)Gamma_q(x)=Gamma(x)。" 附錄 A，在 q-級數：它們在分析、數論、組合學、物理學和計算機代數中的發展和應用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 11 和 109, 1986.Gasper, G. 和 Rahman, M. 基本超幾何級數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "q-伽瑪函式和 q-二項式係數。" §0.3，在超幾何正交多項式的 Askey 方案及其 q-模擬中。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.Koepf, W. 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Wenchang, C. 問題 10226 及解答。“q-三角恆等式。” Amer. Math. Monthly 103, 175-177, 1996.

在 中被引用

q-伽瑪函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "q-伽瑪函式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/q-GammaFunction.html

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