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Stolarsky-Harborth 常數

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設 b(k) 為 二進位制 表示式中 1 的個數 k，即二進位制 數字計數 1，對於 k=1, 2, ...，給出 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, ... (OEIS A000120)。那麼 奇數 二項式係數 (k; j) 其中 0<=j<=k 的數量是 2^(b(k)) (Glaisher 1899, Fine 1947)。這意味著 奇數 元素在 帕斯卡三角形 的前 n 行中的數量是

f_n=sum_(k=0)^(n-1)2^(b(k)),
(1)

前幾項為 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, ... (OEIS A006046)。

這個序列的項由以下遞推關係給出

f_n={3f_(n/2) for n even; 2f_((n-1)/2)+f_((n+1)/2) for n odd
(2)

其中 f_0=0 且 f_1=1。當 n 為 2 的冪時，特殊情況給出

f(2^k)=3^k.
(3)
Stolarsky-HarborthConstant

從方程 (3) 中獲得啟發，函式 f_n 可以很好地近似為 n^theta，其中

theta=log_23=(ln3)/(ln2)=1.58496...
(4)

(OEIS A020857)。此外，f_n/n^theta 在最小值接近 0.81... 和最大值 1 之間以類似分形的方式振盪，如上圖所示。Stolarsky (1977) 和 Harborth (1977) 研究了 f_n/n^theta 的漸近行為。定義

alpha=limsup_(n->infty)(f_n)/(n^theta)
(5)
beta=liminf_(n->infty)(f_n)/(n^theta),
(6)

其中 lim inf 是 下極限，lim sup 是 上極限。Stolarsky (1977) 證明了

1<=alpha<=1.052 0.72<=beta<=(9/7)(3/4)^theta<=0.815
(7)

並推測

alpha=1
(8)
beta=(9/7)(3/4)^theta=3^theta/7=0.814931
(9)

(Harborth 1977, Stolarsky 1977)。Harborth (1977) 隨後證明了 alpha=1，但 Finch 稱之為 Stolarsky-Harborth 常數的 beta 的正確值等於 beta=0.812556。更精確的值是

beta=0.81255655901600638769...
(10)

(OEIS A077464)。

Stolarsky-HarborthMinima

這個常數的值可以透過檢查序列來計算

q_r=(f_(n_r))/(n_r^theta),
(11)

其中 n_r 由 n_0=1 和遞推關係定義

n_r=2n_(r-1)+/-1,
(12)

符號的選擇是為了最小化 q_r。得到的點 (n_r,q_r) 是區域性最小值，如上圖所示。前幾個 (n_r,q_r) 的值是 (1, 1), (3, 5), (5, 11), (11, 37), (21, 103), (43, 317), (87, 967), (173, 2869), ... (OEIS A077465 和 A077466; Harborth 1977)。最小的 n_r 的二進位制表示中 1 的個數是 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, ... (OEIS A077467)。Harborth (1977) 使用關於 q_(19) 的嚴格不等式計算了 beta 的六位精度，但表示“最後，我們備註 q 來自 [q=lim_(r->infty)q_r] 很可能就是 beta 的精確值。”

請注意，Harborth 的遞推關係不一定給出累積最小值，因為它會錯過 n_r-2 處的區域性最小值，如果函式在 n_r-1 處評估的值小於在 n_r 處評估的值。因此，給出所有區域性最小值的序列是 1, 3, 5, 11, 21, 43, 87, 171, 173, 347, 693, 1387, 2775, 5547, 5549, ... (OEIS A084230)，其中“缺失”的項 171, 5547, ... 已被添加回來。

參見

Batrachion, 二進位制, 二項式係數, 布朗芒格函式, 數字計數, Hofstadter-Conway $10,000 序列, 帕斯卡三角形, Rudin-Shapiro 序列

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "Stolarsky-Harborth Constant." §2.16 in 數學常數。 英國劍橋：劍橋大學出版社，pp. 145-151, 2003.Fine, N. J. "二項式係數模素數。" 美國數學月刊 54, 589-592, 1947.Glaisher, J. W. L. "關於二項式定理係數對素數模的剩餘。" 數學季刊 30, 150-156, 1899.Harborth, H. "奇數二項式係數的數量。" 美國數學學會會刊 62, 19-22, 1977.Honsberger, R. 數學瑰寶 II。 華盛頓特區：美國數學協會，p. 1, 1976.Kimball, S. H.; Hatcher, T. R.; Riley, J. A>; 和 Moser, M. "問題 E 1288 的解答：奇數二項式係數。" 美國數學月刊 65, 368-369, 1958.Lakhtakia, A. 和 Messier, R. "來自高斯和的自相似序列和混沌。" 計算機與圖形 13, 59-62, 1989.Lakhtakia, A.; Messier, R.; Varadan, V. K.; 和 Varadan, V. V. "源自 Sierpinski 墊片的自相似擴充套件的分形序列。" 物理學雜誌 A 21, 1925-1928, 1988.McIlroy, M. D. "二進位制整數中 1 的數量：界限和極值屬性。" SIAM 計算雜誌 3, 255-261, 1974.Roberts, J. B. "關於二項式係數剩餘。" 加拿大數學雜誌 9, 363-370, 1957.Sloane, N. J. A. 序列 A000120, A006046/M2445, A020857, A077464, A077465, A077466, A077467, 和 A084230 在“整數序列線上百科全書”中。Stolarsky, K. B. "與二項式係數奇偶性相關的數字和的冪和指數和。" SIAM 應用數學雜誌 32, 717-730, 1977.Wolfram, S. "二項式係數的幾何。" 美國數學月刊 91, 566-571, 1984.

在 上引用

Stolarsky-Harborth 常數

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Stolarsky-Harborth 常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Stolarsky-HarborthConstant.html

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