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位數計數

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數字 N_d^((b))(n) 在以 b 為底的數字 n 的表示中的位數稱為 b-ary 位數計數，用於 d。 位數計數在 Wolfram 語言 中實現為DigitCount[n, b, d].

DigitCount1s

數字 n 的二進位制表示中 1 的數量 N_1(n)=N_1^((2))(n)，如上所示，由下式給出

N_1(n)=n-gde(n!,2)
(1)
=n-sum_(k=1)^(|_log_2n_|)|_n/(2^k)_|,
(2)

其中 gde(n!,2) 是 2 相對於 n! 的最大除數指數。 這是 素數 p 除以階乘 的冪 的一般結果的特殊應用（Vardi 1991，Graham等人。1994）。 將 a(n) 記為 N_1(n)，1 的數量也由遞推關係給出

a(2n)=a(n)
(3)
a(2n+1)=a(n)+1,
(4)

其中 a(0)=0，並且由

N_1(n)=2n-log_2(d),
(5)

其中 d 是

1/(n!)[(d^n)/(dx^n)(1-x)^(-1/2)]_(x=0).
(6)

的分母 n=1、2、...，前幾個值為 1、1、2、1、2、2、3、1、2、2、3、...（OEIS A000120；Smith 1966，Graham 1970，McIlroy 1974）。

對於二進位制數，1 的計數 N_1(n) 等於數字和 s_2(n)。 數量 N_1(n) (mod 2) 稱為非負整數 n 的奇偶性。

N_0(n) 和 N_1(n) 滿足以下優美的恆等式

sum_(n=1)^(infty)(N_1(n)+N_0(n))/(2n(2n+1))=gamma
(7)
sum_(n=1)^(infty)(N_1(n)-N_0(n))/(2n(2n+1))=ln(4/pi),
(8)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數，ln(4/pi)=0.241564... (OEIS A094640) 是其“交替模擬”（Sondow 2005）。

令 e(n) 和 o(n) 分別為 n 的偶數位和奇數位的數量。 則

sum_(n=1)^(infty)(o(2^n))/(2^n)=1/9
(9)
sum_(n=1)^(infty)(e(2^n))/(2^n)=-1/9+sum_(n=1)^(infty)(|_nlog_(10)2_|+1)/(2^n)
(10)
=1.0316063864...,
(11)

其中後者 (OEIS A096614) 是超越數（Borwein等人。2004，第 14-15 頁）。

另請參閱

二進位制, 位數, 位數乘積, 位數和, 奇偶性, Stolarsky-Harborth 常數

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/DigitCount/

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參考文獻

Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. 數學實驗：計算發現之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Graham, R. L. "關於本原圖和最優頂點分配。" Ann. New York Acad. Sci. 175, 170-186, 1970.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "階乘因子。" §4.4 in 具體數學：計算機科學基礎，第 2 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 111-115, 1994.McIlroy, M. D. "二進位制整數中 1 的數量：界限和極值性質。" SIAM J. Comput. 3, 255-261, 1974.Sloane, N. J. A. 序列 A000120/M0105, A094640, A096614 in "整數序列線上百科全書"。Smith, N. "問題 B-82。" Fib. Quart. 4, 374-365, 1966.Sondow, J. "尤拉常數及其“交替”模擬 ln(4/pi) 的新型 Vacca 型有理級數。" 2005 年 8 月 1 日。 http://arxiv.org/abs/math.NT/0508042.Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 New York: Springer-Verlag, p. 33, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vardi, I. Mathematica 計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 67, 1991.Wolfram, S. 一種新科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 902, 2002.

在 上引用

位數計數

請引用為

Weisstein, Eric W. "位數計數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DigitCount.html

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