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有形數三角形

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有形數三角形是 帕斯卡三角形，以方形網格書寫並用零填充，正如 Jakob Bernoulli (Smith 1984) 所寫。因此，有形數三角形的條目為

a_(ij)=(i; j),
(1)

其中 i 是行號，j 是列號，且 (i; j) 是一個 二項式係數。顯式寫出（每行以 j=0）開始），

[1 0 0 0 0 0 0 ...; 1 1 0 0 0 0 0 ...; 1 2 1 0 0 0 0 ...; 1 3 3 1 0 0 0 ...; 1 4 6 4 1 0 0 ...; 1 5 10 10 5 1 0 ...; 1 6 15 20 15 6 1 ...; 1 7 21 35 35 21 7 ...; | | | | | | | ...]
(2)

然後我們有求和恆等式

sum_(j=0)^(i)a_(ij)=2^i
(3)
sum_(j=1)^(i)a_(ij)=2^i-1
(4)
sum_(i=0)^(n)a_(ij)=a_((n+1),(j+1))
(5)
=(n+1)/(j+1)a_(nj).
(6)

另請參閱

二項式係數, 有形數, 數三角形, 帕斯卡三角形

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參考文獻

Smith, D. E. 數學資料彙編。 New York: Dover, p. 86, 1984.

在 中引用

有形數三角形

請引用為

Weisstein, Eric W. “有形數三角形。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/FigurateNumberTriangle.html

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