主題
Search

梅森數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

梅森數是形如

M_n=2^n-1,
(1)

的數，其中 n 是一個整數。梅森數由二進位制表示中全部為 1 的數字組成，因此是二進位制重覆單位數。前幾個梅森數是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ... (OEIS A000225)，對應於二進制中的 1_2, 11_2, 111_2, 1111_2, ...。

梅森數也是透過在費馬多項式中設定 x=1 獲得的數。它們也對應於康寧漢數 C^-(2,n)。

梅森數 M_n 的位數 D 為

D=|_log(2^n-1)+1_|,
(2)

其中 |_x_| 是向下取整函式，對於大的 n，給出

D approx |_nlog2+1_| approx |_0.301029n+1_|=|_0.301029n_|+1.
(3)

M_n 的位數與 2^n 的位數相同，即 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A034887)。M_(10^n) 的十進位制位數（對於 n=0, 1, ...）由 1, 4, 31, 302, 3011, 30103, 301030, 3010300, 30103000, 301029996, ... (OEIS A114475) 給出，這對應於 log2=0.30102999... (OEIS A007524) 的十進位制展開。

對於 n=1, 2, ...，M_n 的素因子數是 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 5, 1, 3, 3, 4, 1, 6, ... (OEIS A046051)，前幾個分解式為

M_1=1
(4)
M_2=3
(5)
M_3=7
(6)
M_4=3·5
(7)
M_5=31
(8)
M_6=3·3·7
(9)
M_7=127
(10)
M_8=3·5·17
(11)
M_9=7·73
(12)
M_(10)=3·11·31
(13)

(OEIS A001265)。給出半素數的梅森數指標為 4, 9, 11, 23, 37, 41, 49, 59, 67, 83, ... (OEIS A085724)。截至 2022 年，已知給出半素數的最大指標為 1427 和 1487。

因此，整除 M_n 的最小素數是 1, 3, 7, 3, 31, 3, 127, 3, 7, 3, 23, 3, 8191, ... (OEIS A049479)，最大的是 1, 3, 7, 5, 31, 7, 127, 17, 73, 31, 89, 13, 8191, ... (OEIS A005420)。

為了使梅森數 M_n 為素數，n 必須是素數。這是成立的，因為對於合數 n，其因子為 r 和 s，n=rs。因此，2^n-1 可以寫成 2^(rs)-1，這是一個二項式數，可以被分解。由於對梅森數的大部分興趣來自於嘗試分解它們，許多作者更喜歡將梅森數定義為上述形式的數

M_p=2^p-1,
(14)

但 p 僅限於素數值。

所有已知的 M_p（其中 p 為素數）都是無平方數。然而，Guy (1994) 認為存在不是無平方數的 M_p。

尋找梅森素數是計算量最大且積極追求的高階和分散式計算領域之一。Edgington 維護著素數 p 的 M_p 的已知因式分解列表。

參見

卡塔蘭-梅森數, 庫倫數, 康寧漢數, 雙梅森數, 埃伯哈特猜想, 埃爾德什-博爾溫常數, 費馬數, 盧卡斯-萊默檢驗法, 梅森素數, 完全數, 重覆單位數, 裡塞爾數, 第二類謝爾賓斯基數, 索菲·熱爾曼素數, 超完全數, 麥粒與棋盤問題, 維費裡希素數, 伍德爾數, 齊格蒙定理

使用 探索

參考文獻

Dickson, L. E. 數論史，第 1 卷：可除性與素性。 紐約：Dover，第 13 頁，2005 年。Edgington, W. "Will Edgington's Mersenne Page." http://www.garlic.com/~wedgingt/mersenne.html.Flannery, S. 和 Flannery, D. 編碼：數學之旅。 倫敦：Profile Books，第 47-51 頁，2000 年。Gardner, M. "數學遊戲：關於二十面體遊戲和漢諾塔之間驚人的相似性。" 科學美國人 196, 150-156, 1957 年 5 月。Guy, R. K. "梅森素數。重覆單位數。費馬數。形如 k·2^n+2 [原文如此] 的素數。" §A3 在 數論中未解決的問題，第 2 版。 紐約：Springer-Verlag，第 8-13 頁，1994 年。Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. 數論導引，第 5 版。 英國牛津：Clarendon Press，第 15-16 和 22 頁，1979 年。Pappas, T. "梅森數。" 數學之樂。 加利福尼亞州聖卡洛斯：Wide World Publ./Tetra，第 211 頁，1989 年。Robinson, R. M. "梅森數和費馬數。" 美國數學會會刊 5, 842-846, 1954 年。Shanks, D. 數論中已解決和未解決的問題，第 4 版。 紐約：Chelsea，第 14, 18-19, 22, 和 29-30 頁，1993 年。Sloane, N. J. A. “整數數列線上大全”中的數列 A000225/M2655, A001265, A005420/M2609, A007524/M2196, A034887, A046051, A049479, A085724, 和 A114475。Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 紐約：Dover，第 23-24 頁，1999 年。

在 中被引用

梅森數

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "梅森數。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/MersenneNumber.html

主題分類