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完全數

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完全數是 正整數 n 使得

n=s(n),
(1)

其中 s(n) 是 限制除數函式 (即，和 真因數 n 的總和)，或等價地

sigma(n)=2n,
(2)

其中 sigma(n) 是 除數函式 (即，和 因數 n 的總和，包括 n 本身)。 例如，前幾個完全數是 6, 28, 496, 8128, ... (OEIS A000396)，因為

6=1+2+3
(3)
28=1+2+4+7+14
(4)
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,
(5)

等等。

第 n 個完全數在 Wolfram 語言 中實現為PerfectNumber[n]，並檢查 k 是否為完全數，如同PerfectNumberQ[k]。

前幾個完全數 P_n 總結在下表中，以及它們對應的索引 p (見下文)。

np_nP_n
126
2328
35496
478128
51333550336
6178589869056
719137438691328
8312305843008139952128

完全數被古代人認為具有重要的命理學性質，並被包括歐幾里得在內的希臘人廣泛研究。

完全數也與一類稱為 梅森素數 的數密切相關，梅森素數是形如 M_p=2^p-1 的素數。 這可以透過考慮一個形如 P=q·2^(p-1) 的完全數 P 來證明，其中 q 是 素數。 根據完全數 P 的定義，

sigma(P)=2P.
(6)

現在請注意，除數函式 sigma(n) 有特殊形式

sigma(q)=q+1
(7)

對於素數 n=q，以及

sigma(2^alpha)=2^(alpha+1)-1
(8)

對於 n=2^alpha。 將這些與附加恆等式結合

sigma(p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r))=sigma(p_1^(alpha_1))sigma(p_2^(alpha_2))...sigma(p_r^(alpha_r)),
(9)

其中 n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r) 是 n 的 素數分解，得出

sigma(P)=sigma(q·2^(p-1))
(10)
=sigma(q)sigma(2^(p-1))
(11)
=(q+1)(2^p-1).
(12)

但是 sigma(P)=2P，所以

(q+1)(2^p-1)=2q·2^(p-1)=q·2^p.
(13)

求解 q 則得到

q=2^p-1.
(14)

因此，如果 P 要成為完全數，q 必須是 q=2^p-1 的形式。 將 M_p 定義為形如 M_P=q=2^p-1 的素數，則得出

P_p=1/2(M_p+1)M_p=2^(p-1)(2^p-1)
(15)

是一個完全數，正如歐幾里得《幾何原本》命題 IX.36 中所述 (Dickson 2005, p. 3; Dunham 1990)。

雖然歐幾里得的許多後繼者隱含地認為所有完全數都具有形式 (15) (Dickson 2005, pp. 3-33)，但所有偶完全數都具有這種形式的精確陳述最早在 1638 年笛卡爾寫給梅森的信中被考慮 (Dickson 2005, p. 12)。 弗朗斯·範·斯霍滕在 1658 年寫給費馬的信中提出了證明或反駁歐幾里得的構造給出了所有可能的偶完全數 (Dickson 2005, p. 14)。 在 1849 年的遺作中，尤拉提供了第一個證明，證明歐幾里得的構造給出了所有可能的偶完全數 (Dickson 2005, p. 19)。

是否奇完全數存在尚不清楚，儘管已檢查了高達 10^(1500) 的數字 (Ochem 和 Rao 2012)，但沒有成功。

所有 偶 完全數 P>6 都 具有形式

P=1+9T_n,
(16)

其中 T_n 是一個 三角形數

T_n=1/2n(n+1)
(17)

使得 n=8j+2 (Eaton 1995, 1996)。 此外，所有偶完全數都是 六邊形數，因此可以得出結論，偶完全數始終是以 1 開頭的連續 正整數 的總和，例如，

6=sum_(n=1)^(3)n
(18)
28=sum_(n=1)^(7)n
(19)
496=sum_(n=1)^(31)n
(20)

(Singh 1997)，其中 3, 7, 31, ... (OEIS A000668) 只是 梅森素數。 此外，每個偶完全數 P 都 具有形式 2^(p-1)(2^p-1)，因此可以使用以下恆等式生成它們

sum_(k=1)^(2^((p-1)/2))(2k-1)^3=2^(p-1)(2^p-1)=P.
(21)

眾所周知，所有 偶 完全數（除了 6）都以 16、28、36、56、76 或 96 結尾 (Lucas 1891)，並且 數字根 為 1。 特別是，前幾個完全數的最後一位數字是 6、8、6、8、6、6、8、8、6、6、8、8、6、8、8、... (OEIS A094540)，截至 2004 年 6 月，第 38 項和第 41 項之間的區域尚未完全搜尋。

完全數的所有除數的倒數之和為 2，因為

n+...+c+b+a_()_(n)=2n
(22)
n/a+n/b+...=2n
(23)
1/a+1/b+...=2.
(24)

如果 s(n)>n，則稱 n 為 盈數。 如果 s(n)<n，則稱 n 為 虧數。 並且如果對於 正整數 k>1，sigma(n)=kn，則稱 n 為階數為 k 的 多完全數。

唯一 具有形式 x^3+1 的偶完全數是 28 (Makowski 1962)。

Ruiz 已經證明 n 是一個完全數，當且僅當

sum_(i=1)^(n-2)i|_n/i_|=1+sum_(i=1)^(n-1)i|_(n-1)/i_|.
(25)

另請參閱

盈數, 阿里quot序列, 親和數對, 親和四元組, 抱負數, 虧數, 除數函式, e-完全數, 偶完全數, 調和數, 超完全數, 無限完全數, 梅森數, 梅森素數, 多完全數, 乘法完全數, 奇完全數, 偽完全數, 擬完全數, 史密斯數, 相親數, 崇高數, 超酉完全數, 超完全數, 酉完全數, 奇異數 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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在 中引用

完全數

引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "完全數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PerfectNumber.html

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