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豐沛數

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豐沛數，有時也稱為過剩數，是一個 正整數 n 其中

s(n)=sigma(n)-n>n,
(1)

其中 sigma(n) 是 除數函式，而 s(n) 是限制除數函式。數量 sigma(n)-2n 有時被稱為丰度。

一個豐沛數，但其所有真因子都是虧數的數，被稱為本原豐沛數 (Guy 1994, p. 46)。

前幾個豐沛數是 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (OEIS A005101)。

每個正整數 n 且 (mod n)60 都是豐沛數。完全數或豐沛數的任何倍數也是豐沛數。素數不是豐沛數。每個大於 20161 的數都可以表示為兩個豐沛數的和。

小於 100 的豐沛數只有 21 個，它們都是偶數。第一個奇豐沛數是

945=3^3·7·5.
(2)

可以透過計算看出 945 是豐沛數

s(945)=975>945.
(3)
AbundantNumberDensity

定義密度函式

A(x)=lim_(n->infty)(|{k<=n:sigma(k)>=xk}|)/n
(4)

(更正了 Finch 2003, p. 126 中的表示式) 對於一個正實數 x 其中 |B| 給出了集合 |B| 的基數，然後 Davenport (1933) 證明了 A(x) 存在且對所有 x 連續，並且 Erdős (1934) 給出了一個簡化的證明 (Finch 2003)。特殊情況 A(2) 然後給出了豐沛數的漸近密度，

A(2)=lim_(n->infty)(# abundant numbers <=n)/n.
(5)

下表總結了常數界限隨時間的改進。

值參考
0.241<A(2)<0.314Behrend (1933)
0.2441<A(2)<0.2909Wall (1971) 和 Wall 等人 (1977)
0.2474<A(2)<0.2480Deléglise (1998)
0.2476171<A(2)<0.2476475Kobayashi (2010, p. 12)

另請參閱

丰度, 因子和數列, 超豐沛數, 虧數, 高合成數, 多親和數, 完全數, 實用數, 本原豐沛數, 奇異數

使用 探索

參考文獻

Behrend, F. "Über numeri abundantes." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 21/23, 322-328, 1932.Behrend, F. "Über numeri abundantes. II." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 6, 280-293, 1933.Davenport, H. "Über numeri abundantes." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 6, 830-837, 1933.Deléglise, M. "Bounds for the Density of Abundant Integers." Exp. Math. 7, 137-143, 1998.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 3-33, 2005.Erdős, P. "On the Density of the Abundant Numbers." J. London Math. Soc. 9, 278-282, 1934.Finch, S. R. "Abundant Numbers Density Constant." §2.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 126-127, 2003.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 45-46, 1994.Kobayashi, M. "On the Density of Abundant Numbers." Ph.D. thesis. Hanover, NH: Dartmouth College, 2010.Singh, S. Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem. New York: Walker, pp. 11 and 13, 1997.Sloane, N. J. A. Sequence A005101/M4825 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Souissi, M. Un Texte Manuscrit d'Ibn Al-Bannā' Al-Marrakusi sur les Nombres Parfaits, Abondants, Deficients, et Amiables. Karachi, Pakistan: Hamdard Nat. Found., 1975.Wall, C. R. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." In The Theory of Arithmetic Functions: Proceedings of the Conference at Western Michigan University, April 29-May 1, 1971. (Ed. A. A. Gioia and D. L. Goldsmith). New York: Springer-Verlag, pp. 283-287, 1971.Wall, C. R.; Crews, P. L.; and Johnson, D. B. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." Math. Comput. 26, 773-777, 1972.Wall, C. R.; Crews, P. L.; and Johnson, D. B. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." Math. Comput. 31, 616, 1977.

在 上引用

豐沛數

引用為

Weisstein, Eric W. "豐沛數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AbundantNumber.html

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