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高度合成數

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高度合成數是指這樣的數，其除數函式 d(n)=sigma_0(n) (即，n 的除數個數) 的值大於所有更小的 n 的除數函式值。超豐富數 與高度合成數密切相關，並且前 19 個超豐富數和高度合成數是相同的。

存在無限個高度合成數，前幾個是 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, ... (OEIS A002182)。對應的除數個數是 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, ... (OEIS A002183)。拉馬努金 (Ramanujan) (1915) 列出了前 102 個高度合成數，直到 6746328388800，但遺漏了 293318625600。Robin (1983) 給出了前 5000 個高度合成數，Nicholas (1988) 給出了全面的綜述。Flammenkamp 給出了前 779674 個高度合成數的列表。

如果

N=2^(a_2)3^(a_3)...p^(a_p)
(1)

是高度合成數的素因數分解，則

1. 素數 2, 3, ..., p 構成一個連續素數序列，

2. 指數是非遞增的，因此 a_2>=a_3>=...>=a_p，並且

3. 最後一個指數 a_p 始終為 1，除了兩種情況 N=4=2^2 和 N=36=2^2·3^2，在這些情況下為 2。

設 Q(x) 為小於等於 <=x 的高度合成數的數量。拉馬努金 (Ramanujan) (1915) 證明了

lim_(x->infty)(Q(x))/(lnx)=infty.
(2)

Alaoglu 和 Erdős (1944) 證明存在一個常數 c_1>0 使得

Q(x)>=(lnx)^(1+c_1)
(3)

Nicholas 證明存在一個常數 c_2>0 使得

Q(x)<<(lnx)^(c_2).
(4)

另請參閱

盈數, 約數, 除數函式, 高度互補商數, 光滑數, 光滑性, 光滑數, 超豐富數, 優越高度合成數

使用 探索

參考文獻

Alaoglu, L. and Erdős, P. "關於高度合成數和相似數。" Trans. Amer. Math. Soc. 56, 448-469, 1944.Andree, R. V. "拉馬努金的高度合成數。" Abacus 3, 61-62, 1986.Berndt, B. C. 拉馬努金的筆記本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, p. 53, 1994.Dickson, L. E. 數論史，第一卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 323, 2005.Flammenkamp, A. "高度合成數。" http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html.Hoffman, P. 那個只愛數字的人：保羅·埃爾德什的故事和對數學真理的探索。 New York: Hyperion, pp. 88-91, 1998.Honsberger, R. 數學珍寶 I。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 112, 1973.Honsberger, R. "拉馬努金的高度合成數導論。" Ch. 14 in 數學珍寶 III。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 193-207, 1985.Kanigel, R. 知曉無限的人：天才拉馬努金的一生。 New York: Washington Square Press, p. 232, 1991.Nicholas, J.-L. "關於高度合成數。" In 拉馬努金重訪：伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校百年會議論文集，1987 年 6 月 1-5 日 (Ed. G. E. Andrews, B. C. Berndt, and R. A. Rankin). Boston, MA: Academic Press, pp. 215-244, 1988.Ramanujan, S. "高度合成數。" Proc. London Math. Soc. 14, 347-409, 1915.Ramanujan, S. 斯里尼瓦薩·拉馬努金論文集 (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Robin, G. "數論問題最佳化的方法。" RAIRO Inform. Théor. 17, 239-247, 1983.Séroul, R. "高度合成數。" §8.14 in 數學家程式設計。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 208-213, 2000.Siano, D. "高度合成數：我們如何計算它們？" http://www.eclipse.net/~dimona/juliannum.html.Siano, D. B. and Siano, J. D. "生成高度合成數的演算法。" http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/julianmanuscript3.pdf. October 7, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A002182/M1025 and A002183/M0546 in "整數數列線上百科全書"。Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 New York: Penguin Books, p. 128, 1986.

在 中被引用

高度合成數

請引用為

Weisstein, Eric W. "高度合成數。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/HighlyCompositeNumber.html

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