主題
Search

超完全數

一個數 n 被稱為 k-超完全數，如果

n=1+ksum_(i)d_i
(1)
=1+k[sigma(n)-n-1],
(2)

其中 sigma(n) 是 除數函式，求和是對 真因子 進行的，且滿足 1<d_i<n。整理得到

ksigma(n)=(k+1)n+k-1.
(3)

令 k=1 得到通常的 完全數。

如果 k>1 是一個奇整數，且 p=(3k+1)/2 和 q=3k+4=2p+3 是素數，那麼 p^2q 是 k-超完全數。McCranie (2000) 推測對於奇數 k>1，所有 k-超完全數實際上都是這種形式。類似地，如果 p 和 q 是不同的奇素數，且對於某個整數 k，k(p+q)=pq-1 成立，那麼 n=pq 是 k-超完全數。最後，如果 k>0 且 p=k+1 是素數，那麼如果對於某個 i>1<，q=p^i-p+1 是素數，則 n=p^(i-1)q 是 k-超完全數 (McCranie 2000)。

最早的幾個超完全數（不包括 完全數）是 21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS A007592)。如果包括 完全數，最早的幾個是 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS A034897)，它們對應的 k 值是 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS A034898)。下表給出了對於小的 k 值，最早的幾個 k-超完全數。McCranie (2000) 列出了所有小於 10^(11) 的超完全數。

kOEISk-超完全數
1A0003966 ,28, 496, 8128, ...
2A00759321, 2133, 19521, 176661, ...
3325, ...
41950625, 1220640625, ...
6A028499301, 16513, 60110701, ...
10159841, ...
1110693, ...
12A028500697, 2041, 1570153, 62722153, ...

另請參閱

完全數

使用 探索

參考文獻

Guy, R. K. “幾乎完全數、擬完全數、偽完全數、調和數、怪異數、多重完全數和超完全數。” §B2 in 數論中未解決的問題，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 45-53, 1994.McCranie, J. S. "超完全數研究。" J. Integer Sequences 3, No. 00.1.3, 2000. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/VOL3/mccranie.Minoli, D. "非線性超完全數的問題。" Math. Comput. 34, 639-645, 1980.Roberts, J. 整數的誘惑。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 177, 1992.Sloane, N. J. A. 數列 A000396/M4186, A007592/M5113, A007593/M5121, A028499, A028500, A034897, 和 A034898 在 “線上整數數列百科全書” 中。te Riele, H. J. J. "具有三個不同素因子的超完全數。" Math. Comput. 36, 297-298, 1981.

在 上被引用

超完全數

引用為

Eric W. Weisstein。“超完全數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/HyperperfectNumber.html

主題分類