梅森素數

梅森素數是一個 梅森數，即形如

且為 素數 的數。為了使 為 素數， 本身必須是 素數。這是正確的，因為對於 合數 ，其因子為 和 ，。因此， 可以寫成 ，這是一個 二項式數，它總是有一個因子 。

前幾個梅森素數是 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, ... (OEIS A000668)，對應的指數為 , 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... (OEIS A000043)。

梅森素數最初被研究是因為每個梅森素數都與一個 完全數 精確對應，這一性質非常 remarkable。L. Welsh 維護著一個關於梅森數的廣泛的參考書目和歷史記錄。

據推測，存在無限個梅森素數。將一條穿過原點的直線擬合到前 51 個（已知的）梅森素數 的漸近數量，其中 ，得到最佳擬合線為 ，如上所示。如果該直線不限制為穿過原點，則最佳擬合為 。據推測（沒有任何特別有力的證據），常數由 給出，其中 是 尤拉-馬歇羅尼常數 (Havil 2003, p. 116; Caldwell)，這是一個與 Wagstaff 猜想 相關的結果。

然而，尋找梅森素數在計算上非常具有挑戰性。例如，1963 年發現 是素數的訊息，由伊利諾伊州厄巴納發行的一種特殊的郵資計價器設計來宣告，如上所示。

G. Woltman 透過網際網路組織了一個名為 GIMPS（網際網路梅森素數大搜索）的分散式搜尋程式，其中數百名志願者使用他們的個人電腦來執行搜尋的一部分工作。GIMPS 志願者的努力使得這個分散式計算專案成為自 1996 年末以來發現的所有梅森素數的發現者。截至 2024 年 10 月 21 日，GIMPS 參與者已經測試並驗證了所有低於 6900 萬的指數，並且至少測試了一次所有低於 1.24 億的指數 (GIMPS)。

下表給出了已知梅森素數 (OEIS A000043) 的指數 ，以及位數、發現年份和發現者。C. Caldwell 也編制了一個類似的表格。請注意，對於 ，在 M_(48) 和 M_(49) 之間的所有指數（即高達 ）都被驗證為合數之前，“第” 個梅森素數的順序索引是暫定的。因此，對於更大的已知梅森素數 、 和 ，排名索引也是暫定的。

#		位數	年份	發現者（參考文獻）	值
1	2	1	古代		3
2	3	1	古代		7
3	5	2	古代		31
4	7	3	古代		127
5	13	4	1461	Reguis (1536), Cataldi (1603)	8191
6	17	6	1588	Cataldi (1603)	131071
7	19	6	1588	Cataldi (1603)	524287
8	31	10	1750	Euler (1772)	2147483647
9	61	19	1883	Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)	2305843009213693951
10	89	27	1911	Powers (1911)	618970019642690137449562111
11	107	33	1913	Powers (1914)	162259276829213363391578010288127
12	127	39	1876	Lucas (1876)	170141183460469231731687303715884105727
13	521	157	1 月 30 日, 1952 年	Robinson (1954)	68647976601306097149...12574028291115057151
14	607	183	1 月 30 日, 1952 年	Robinson (1954)	53113799281676709868...70835393219031728127
15	1279	386	6 月 25 日, 1952 年	Robinson (1954)	10407932194664399081...20710555703168729087
16	2203	664	10 月 7 日, 1952 年	Robinson (1954)	14759799152141802350...50419497686697771007
17	2281	687	10 月 9 日, 1952 年	Robinson (1954)	44608755718375842957...64133172418132836351
18	3217	969	9 月 8 日, 1957 年	Riesel	25911708601320262777...46160677362909315071
19	4253	1281	11 月 3 日, 1961 年	Hurwitz	19079700752443907380...76034687815350484991
20	4423	1332	11 月 3 日, 1961 年	Hurwitz	28554254222827961390...10231057902608580607
21	9689	2917	5 月 11 日, 1963 年	Gillies (1964)	47822027880546120295...18992696826225754111
22	9941	2993	5 月 16 日, 1963 年	Gillies (1964)	34608828249085121524...19426224883789463551
23	11213	3376	6 月 2 日, 1963 年	Gillies (1964)	28141120136973731333...67391476087696392191
24	19937	6002	3 月 4 日, 1971 年	Tuckerman (1971)	43154247973881626480...36741539030968041471
25	21701	6533	10 月 30 日, 1978 年	Noll and Nickel (1980)	44867916611904333479...57410828353511882751
26	23209	6987	2 月 9 日, 1979 年	Noll (Noll and Nickel 1980)	40287411577898877818...36743355523779264511
27	44497	13395	4 月 8 日, 1979 年	Nelson and Slowinski	85450982430363380319...44867686961011228671
28	86243	25962	9 月 25 日, 1982 年	Slowinski	53692799550275632152...99857021709433438207
29	110503	33265	1 月 28 日, 1988 年	Colquitt and Welsh (1991)	52192831334175505976...69951621083465515007
30	132049	39751	9 月 20 日, 1983 年	Slowinski	51274027626932072381...52138578455730061311
31	216091	65050	9 月 6 日, 1985 年	Slowinski	74609310306466134368...91336204103815528447
32	756839	227832	2 月 19 日, 1992 年	Slowinski and Gage	17413590682008709732...02603793328544677887
33	859433	258716	1 月 10 日, 1994 年	Slowinski and Gage	12949812560420764966...02414267243500142591
34	1257787	378632	9 月 3 日, 1996 年	Slowinski and Gage	41224577362142867472...31257188976089366527
35	1398269	420921	11 月 12 日, 1996 年	Joel Armengaud/GIMPS	81471756441257307514...85532025868451315711
36	2976221	895832	8 月 24 日, 1997 年	Gordon Spence/GIMPS	62334007624857864988...76506256743729201151
37	3021377	909526	1 月 27 日, 1998 年	Roland Clarkson/GIMPS	12741168303009336743...25422631973024694271
38	6972593	2098960	6 月 1 日, 1999 年	Nayan Hajratwala/GIMPS	43707574412708137883...35366526142924193791
39	13466917	4053946	11 月 14 日, 2001 年	Michael Cameron/GIMPS	92494773800670132224...30073855470256259071
40	20996011	6320430	11 月 17 日, 2003 年	Michael Shafer/GIMPS	12597689545033010502...94714065762855682047
41	24036583	7235733	5 月 15 日, 2004 年	Josh Findley/GIMPS	29941042940415717208...67436921882733969407
42	25964951	7816230	2 月 18 日, 2005 年	Martin Nowak/GIMPS	12216463006127794810...98933257280577077247
43	30402457	9152052	12 月 15 日, 2005 年	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	31541647561884608093...11134297411652943871
44	32582657	9808358	9 月 4 日, 2006 年	Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS	12457502601536945540...11752880154053967871
45	37156667	11185272	9 月 6 日, 2008 年	Hans-Michael Elvenich/GIMPS	20225440689097733553...21340265022308220927
46	42643801	12837064	6 月 12 日, 2009 年	Odd Magnar Strindmo/GIMPS	16987351645274162247...84101954765562314751
47	43112609	12978189	8 月 23 日, 2008 年	Edson Smith/GIMPS	31647026933025592314...80022181166697152511
48	57885161	17425170	1 月 25 日, 2013 年	Curtis Cooper/GIMPS	58188726623224644217...46141988071724285951
49?	74207281	22338618	1 月 7 日, 2016 年	Curtis Cooper/GIMPS	30037641808460618205...87010073391086436351
50?	77232917	23249425	12 月 26 日, 2017 年	Jonathan Pace/GIMPS	46733318335923109998...82730618069762179071
51?	82589933	24862048	12 月 7 日, 2018 年	Patrick Laroche/GIMPS	14889444574204132554...37951210325217902591
52?	136279841	41024320	10 月 12 日, 2024 年	Luke Durant/GIMPS	88169432750383326555...55076706219486871551

試除法 通常用於確定潛在梅森素數的合數性。此測試立即顯示 對於 、23、83、131、179、191、239 和 251 是 合數（小因子分別為 23、47、167、263、359、383、479 和 503）。對於 ，更強大的素性測試是 Lucas-Lehmer 檢驗。

如果 是一個 素數，那麼 整除 當且僅當 是 素數。同樣正確的是，素數 因子 必須具有 的形式，其中 是一個 正整數，並且同時具有 或 的形式 (Uspensky and Heaslet 1939)。

梅森數 的 素數 因子 是 Wieferich 素數 當且僅當 。因此，梅森素數不是 Wieferich 素數。