新的梅森素數猜想

迪克森指出，“在給 Tanner 的一封信中 [L'intermediaire des math., 2, 1895, 317]，盧卡斯指出梅森 (1644, 1647) 暗示 必要 和 充分 條件是 為素數，條件是 是 , , 形式之一的素數。”

梅森的暗示已被駁斥，但 Bateman、Selfridge 和 Wagstaff (1989) 以該陳述為靈感，提出了現在被稱為新的梅森猜想，該猜想可以表述如下。

考慮一個奇自然數 。如果以下條件中的兩個成立，那麼第三個也成立

1. 或 ,

2. 是素數（一個 梅森素數），

3. 是素數（一個 瓦格斯塔夫素數）。

該猜想已針對所有素數 進行了驗證。

基於已知的梅森素數和 Wagstaff 素數指數的分佈和啟發式方法（參見 http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/heuristic.html），似乎很可能只有有限數量的指數滿足新梅森猜想的標準。事實上，很可能不會再發現符合標準的梅森素數或 Wagstaff 素數指數。因此，新的梅森猜想可能僅僅是 Guy 的 強小數定律 的另一個例子。事實上，R. D. Silverman (2005) 表示，當首次提出該猜想時，他在場，並引用 Selfridge 本人將該猜想描述為“一個微不足道的奇怪巧合”。