費馬數

費馬數的定義有兩種。不太常見的一種是形如 of the form 的數，透過在 Fermat polynomial 費馬多項式中設定獲得，其中前幾個是 3, 5, 9, 17, 33, ... (OEIS A000051)。

更常見的費馬數是一個特例，由形如 binomial number of the form 的二項式數給出。對於 , 1, 2, ...，前幾個是 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ... (OEIS A000215)。費馬數的 digits 位數是

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對於 , 1, ...，的位數因此是 1, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 39, 78, 155, 309, 617, 1234, ... (OEIS A057755)。對於 , 1, ...，的位數是 1, 309, 381600854690147056244358827361, ... (OEIS A114484)。

成為費馬數是一個數成為 necessary 必要 (但不是 sufficient 充分) 的形式

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素數的必要（但非充分）條件。這可以透過注意到如果是 prime 素數，那麼不能有任何 odd 奇數因子，否則將是形如 of the form 的可分解數

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因此，對於 prime 素數，必須是 2 的 power 冪。任意兩個費馬數都沒有大於 1 的公約數（Hardy 和 Wright 1979, p. 14）。

費馬在 1650 年猜想每個費馬數都是 prime 素數，而艾森斯坦在 1844 年提出了一個問題，即證明存在無限多個費馬素數（Ribenboim 1996, p. 88）。然而，目前僅已知 composite 合數費馬數，其中。一位匿名作者提出形如 of the form , , 的數是 prime 素數。然而，當 Selfridge (1953) 證明

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是 composite 合數時，這個猜想被駁斥（Ribenboim 1996, p. 88）。

唯一已知的 Fermat primes 費馬素數是

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(OEIS A019434)，並且似乎不太可能使用當前的計算方法和硬體找到更多。

由於費馬數非常大，因此分解它們極其困難。事實上，截至 2022 年，只有到已被完全分解。對於 , 1, 2, ...，費馬數的因子數是 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, ... (OEIS A046052)。顯式寫出，完全分解是

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(OEIS A050922)。這裡，最終的大 prime 素數沒有明確給出，因為它可以透過將除以其他給定的因子來計算。

費馬數的最小因子是 5, 17, 257, 65537, 641, 274177, 59649589127497217, 1238926361552897, 2424833, ... (OEIS A093179)，而最大因子是 5, 17, 257, 65537, 6700417, 67280421310721, 5704689200685129054721, (OEIS A070592)。

下表總結了這些完全分解的費馬數的性質。其他已知費馬數因子的表格由 Keller (1983), Brillhart et al. (1988), Young 和 Buell (1988), Riesel (1994), 以及 Pomerance (1996) 給出。Keller 維護著當前已知的費馬數因子列表。在這些表格中，由於所有因子都形如 of the form ，因此已知因子以簡潔的形式表示。

	位數	因子	位數	參考文獻
5	10	2	3, 7	Euler 1732
6	20	2	6, 14	Landry 1880
7	39	2	17, 22	Morrison and Brillhart 1975
8	78	2	16, 62	Brent and Pollard 1981
9	155	3	7, 49, 99	Manasse and Lenstra (In Cipra 1993)
10	309	4	8, 10, 40, 252	Brent 1995
11	617	5	6, 6, 21, 22, 564	Brent 1988

截至 2022 年，已知有 6 個因子，剩餘 C1133 （其中 C 表示一個有位的合數），已知有 4 個因子，剩餘 C2391，已知有 1 個因子，剩餘 C4880 (Keller)。

在 1980 年代初期，已知對於所有，是合數，例外情況是 , 22, 24, 28 和 31 (Riesel 1994, Crandall et al. 2003)。Young 和 Buell (1988) 發現是 composite 合數，Crandall et al. (1995) 發現是 composite 合數，Crandall et al. (2003) 發現是 composite 合數 (Crandall 1999; Borwein and Bailey 2003, pp. 7-8; Crandall et al. 2003)。1997 年，Taura 找到了的一個小因子 (Crandall et al. 2003, Keller)，並且也找到了的一個小因子。截至 2022 年，已知對於所有，是合數（參見 Crandall et al. 2003）。

目前有兩個已知的費馬數是合數，但尚未知曉它們的任何單個因子：和 (Keller; 參見 Crandall et al. 2003)。

Ribenboim (1996, pp. 89 和 359-360) 將 generalized Fermat numbers 廣義費馬數定義為形如 of the form 且為偶數的數，而 Riesel (1994, pp. 102 和 415) 更廣泛地將它們定義為形如的數。

費馬數滿足 recurrence relation 遞推關係

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可以證明是 prime 素數，當且僅當它滿足 Pépin's test Pépin 檢驗。Pépin's theorem Pépin 定理

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也是 necessary 必要且 sufficient 充分的。

1770 年，尤拉證明了的任何 factor 因子都必須具有以下形式

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其中是一個 positive integer 正整數。1878 年，盧卡斯將 2 的指數增加了一個，表明費馬數的 factors 因子必須是形如 of the form

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對於。因此，費馬數的因子是 Proth primes Proth 素數，因為它們是形如的形式，只要它們也滿足附加條件為奇數且。

如果

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是的因子部分（其中是要測試素性的餘因子），計算

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那麼如果，則餘因子是基的 probable prime 可能素數；否則是 composite 合數。

為了使一個 polygon 多邊形能夠外切於一個 circle 圓（即，一個 constructible polygon 可作圖多邊形），它必須具有邊數，其形式為

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其中是非負整數，是零個或多個不同的費馬素數（如高斯所述，並由 Wantzel 1836 年首次發表）。這等價於以下陳述：三角函式 , 等，可以用有限次數的加法、乘法和平方根運算來計算，iff 當且僅當是上述形式時。

對於 , 2, ...， ${F_k,F_(k+1),...}$ 的最後位數字（其中是使得具有位的最小整數）最終是週期性的，週期分別為 1, 4, 20, 100, 500, 2500, ... (OEIS A005054; Koshy 2002-2003)。

另請參閱

Cullen Number, Fermat Polynomial, Fermat Prime, Generalized Fermat Number, Near-Square Prime, Pépin's Test, Pépin's Theorem, Pocklington's Theorem, Polygon, Proth Prime, Proth's Theorem, Selfridge-Hurwitz Residue, Woodall Number

使用探索

更多嘗試

參考文獻

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在中被引用

費馬數

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "Fermat Number." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/FermatNumber.html

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