Proth 素數是指 Proth 數 中為素數的數，即形如 
的數，其中 
為奇數，
為正整數，且 
。Fermat 數 的因子只要滿足 
為奇數和 
的條件，就具有這種形式。例如，
是 
的因子，但不是 Proth 素數，因為 
。（否則，每個奇素數都將是 Proth 素數。）
Proth 素數滿足 Proth 定理，即，形如 
的數是素數 當且僅當 存在一個數 a 使得 
模 
同餘於 
。這為 Proth 素數提供了一個簡單的計算測試。Yves Gallot 編寫了一個可下載的程式用於測試 Proth 素數，並且目前已知的許多最大素數都是透過這個程式找到的。
第二類 Sierpiński 數是指滿足 Sierpiński 合數定理 的數 
，即，Proth 數 
使得 
對於每個 
都是 合數。
前幾個 Proth 素數是 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, ... (OEIS A080076)。
下表給出了前幾個指數 
，使得 
對於小的 
是素數。
 | OEIS | 使得  為素數的  值 |
| 1 | | 1, 2, 4, 8, 16, ... |
| 3 | A002253 | 1,
2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, ... |
| 5 | A002254 | 1,
3, 7, 13, 15, 25, 39, 55, 75, 85, 127, 1947, ... |
| 7 | A032353 | 2,
4, 6, 14, 20, 26, 50, 52, 92, 120, ... |
| 9 | A002256 | 1,
2, 3, 6, 7, 11, 14, 17, 33, 42, 43, 63, ... |
另請參閱
Fermat 數,
Payam 數,
Pierpont 素數,
Proth 數,
Proth 定理,
Sierpiński 合數定理,
第二類 Sierpiński 數
使用 探索
參考文獻
Ballinger, R. "Proth Search Page." http://www.prothsearch.net/.Caldwell, C. "Proth Prime." http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ProthPrime.Caldwell, C. K. "Yves Gallot's Proth.exe: An implementation of Proth's Theorem for Windows." http://www.utm.edu/research/primes/programs/gallot/.Keller, W. "The Least Prime of the Form 
for Certain Values of 
." Abstr. Amer. Math. Soc. 9, 417-418, 1988.McNamara, J. and Mills, M. "Factoring of Proth Numbers." http://www.fidn.org/proth1.html.Sloane, N. J. A. Sequences A002253/M1318, A002254/M2635, A002256/M0751, A032353, and A080076 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."在 中被引用
Proth 素數
引用為
Weisstein, Eric W. "Proth 素數。" 來自 --沃爾夫勒姆網路資源。 https://mathworld.tw/ProthPrime.html
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