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第二類謝爾賓斯基數

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第二類謝爾賓斯基數是滿足 謝爾賓斯基合數定理 的數 k，即，一個 普羅斯數 k 使得對於每個 n>=1，k·2^n+1 是 合數。

已知的最小例子是 k=78,557，由 J. Selfridge 在 1962 年證明，但在確定此數字為最小的此類數字之前，仍有許多較小的候選數有待確定。截至 1996 年，仍有 35 個候選數（Ribenboim 1996, p. 358），到 2002 年初，這個數字已減少到 17 個（Peterson 2003）。

2002 年 3 月，L. K. Helm 和 D. A. Norris 發起了一項名為“十七或破滅”的分散式計算工作，以消除剩餘的候選數。在全球合作者的幫助下，截至 2003 年 12 月，這個數字已減少到 12 個（Peterson 2003，Helm 和 Norris）。下表總結了隨後被“十七或破滅”專案發現為素數的數字，截至 2016 年 11 月，僅剩下五個候選數。

日期參與者數字
12 月 6 日，2003 年5359·2^(5054502)+1
6 月 8 日，2005 年D. Gordon27653·2^(9167433)+1
10 月 15 日，2005 年R. Hassler4847·2^(3321063)+1
5 月 5 日，2007 年K. Agafonov19249·2^(13018586)+1
10 月 30 日，2007 年S. Sunde33661·2^(7031232)+1
11 月 6 日，2016 年P. Szabolcs10223·2^(31172165)+1

下表列出了已知的素數以及截至 2008 年 1 月仍然存在的唯一候選數，即六個數字 10223、21181、22699、24737、55459 和 67607。Caldwell 也維護著該專案發現的素數列表 (http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=429)。

k素數位數Caldwell
48474847·2^(3321063)+1999744http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75994
53595359·2^(5054502)+11521561http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=67719
1022310223·2^(31172165)+19383761http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122473
1924919249·2^(13018586)+13918990http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80385
21181
22699
24737
2765327653·2^(9167433)+12759677http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=74836
2843328433·2^(7830457)+12357207http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73145
3366133661·2^(7031232)+12116617http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=82804
4413144131·2^(995972)+1299823http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62867
4615746157·2^(698207)+1210186http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62865
5476754767·2^(1337287)+1402569http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62869
55459
6556765567·2^(1013803)+1305190http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62866
67607
6910969109·2^(1157446)+1348431http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=62868

現在考慮將第二類謝爾賓斯基數限制為素數 k。最小的已證明的素數謝爾賓斯基數是 271129。一個分散式計算專案正在進行中，以尋找 k·2^m+1 是素數的例子，其中 k 小於已證明的下限 (Caldwell)。請注意，最小的候選數包括來自“十七或破滅”列表的三個素數候選數：10223、22699、67607。Caldwell 也維護著該專案發現的素數列表 (http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=564)。

設 a(k) 為使 (2k-1)·2^n+1 為 素數 的最小 n，則前幾個值是 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 583, ... (OEIS A046067)。第二小的 n 由 1, 2, 3, 4, 2, 3, 8, 2, 15, 10, 4, 9, 4, 4, 3, 60, 6, 3, 4, 2, 11, 6, 9, 1483, ... 給出 (OEIS A046068)。即使對於小的 k，也可能需要相當大的 n 才能獲得第一個素數。例如，形式為 383·2^n+1 的最小素數是 383·2^(6393)+1。

存在無限多個為 素數 的謝爾賓斯基數。

最小的奇數 k 使得對於所有 n<k，k+2^n 是 合數 的是 773, 2131, 2491, 4471, 5101, ... (OEIS A033919)。

對於 n>=1 和 高斯整數 k=10+3i、25+3i 和 40+3i，k·2^n+1 始終是合數。(E. Pegg Jr.，私人通訊，2003 年 2 月 6 日；Broadhurst 2005)。

另請參閱

柯爾伯特數, 梅森數, 皮爾龐特素數, 素數, 普羅斯數, 裡塞爾數, 謝爾賓斯基合數定理, 泰坦素數

使用 探索

參考文獻

Baillie, R.; Cormack, G.; 和 Williams, H. C. "關於謝爾賓斯基關於 k·2n+1 的問題。" Math. Comput. 37, 229-231, 1981.Ballinger, R. "謝爾賓斯基問題：定義和狀態。" http://www.prothsearch.net/sierp.html.Broadhurst, D. "Jean 是否可能複雜化 SoB？" primeform 群組帖子。10 月 30 日，2005 年。 http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/6620/.Caldwell, C. "素數謝爾賓斯基問題。" http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=564.Caldwell, C. "十七或破滅。" http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=429.Buell, D. A. 和 Young, J. "一些大素數和謝爾賓斯基問題。" SRC 技術報告 88004，超級計算研究中心，蘭納姆，馬里蘭州，1988 年。Helm, L. 關於發現 27653×2^(9167433)+1 的新聞稿。2005 年 6 月 15 日。 http://www.seventeenorbust.com/documents/press-061505.mhtml.Helm, L. 關於發現 19249·2^(13018586)+1 的新聞稿。2007 年 5 月 5 日。 http://www.seventeenorbust.com/documents/press-050507.mhtml.Helm, L. 和 Norris, D. "十七或破滅：對謝爾賓斯基問題的分散式攻擊。" http://www.seventeenorbust.com/.Helm, L. 和 Norris, D. "十七或破滅：對謝爾賓斯基問題的分散式攻擊 -- 專案統計。" http://www.seventeenorbust.com/stats/.Jaeschke, G. "關於使得 k·2^N+1 為合數的最小 k。" Math. Comput. 40, 381-384, 1983.Jaeschke, G. "關於使得 k·2^N+1 為合數的最小 k" 的勘誤表。 Math. Comput. 45, 637, 1985.Keller, W. "費馬數的因子和 k·2^n+1 形式的大素數。" Math. Comput. 41, 661-673, 1983.Keller, W. "費馬數的因子和 k·2^n+1 形式的大素數，II。" 準備中。Peterson, I. "MathTrek：素數的顯著缺乏。" 2003 年 1 月 13 日。 http://www.sciencenews.org/20030111/mathtrek.asp."素數謝爾賓斯基專案。" http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=2665.Ribenboim, P. 新素數記錄書。 紐約：施普林格出版社，pp. 357-359, 1996.Sierpiński, W. "關於 k·2^n+1 數的問題。" Elem. d. Math. 15, 73-74, 1960.Sloane, N. J. A. 序列 A033919, A046067, 和 A046068 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中引用

第二類謝爾賓斯基數

請引用為

Weisstein, Eric W. "第二類謝爾賓斯基數。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html

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