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廣義費馬數

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廣義費馬數有兩種不同的定義，其中一個比另一個更通用。Ribenboim（1996，第 89 頁和 359-360 頁）將廣義費馬數定義為 形如 a^(2^n)+1 且 a>2 的數，而 Riesel（1994）進一步推廣，將其定義為 a^(2^n)+b^(2^n) 形式的數。 兩種定義都推廣了通常的 費馬數 F_n=2^(2^n)+1。下表給出了對於不同的基數 a 的前幾個廣義費馬數。

aOEIS以 a 為基數的廣義費馬數
2A0002153, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ...
3A0599194, 10, 82, 6562, 43046722, ...
4A0002155, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ...
5A0783036, 26, 626, 390626, 152587890626, ...
6A0783047, 37, 1297, 1679617, 2821109907457, ...

廣義費馬數只有在 a 為偶數時才可能是素數。更具體地說，奇素數 p 是廣義費馬素數 當且僅當 存在整數 i 使得 i^2=-1 (mod p) 且 i^2<p (Broadhurst 2006)。

許多已知的最大素數是廣義費馬數。Dubner 在 1992 年 9 月發現了 200944^(2^(11))+1 （10861 位數）和 82642^(2^(11))+1 （10071 位數）（Ribenboim 1996，第 360 頁）。截至 2009 年 1 月，已知最大的素數是 24518^(2^(18))+1 （http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84401），它有 1150678 個十進位制位數。

下表給出了對於不同的偶數基數 a 的前幾個廣義費馬素數。

a素數 a^(2^n)+1
25, 17, 257, 65537, ...
417, 257, 65537, ...
637, 1297, ...

另請參閱

費馬數, 費馬素數, 近平方素數

使用 探索

參考文獻

Broadhurst, D. "GFN Conjecture." Post to primeform user forum. Apr. 1, 2006. http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/7187.Caldwell, C. "The Largest Known Primes." http://primes.utm.edu/primes/lists/all.txt.Dubner, H. "Generalized Fermat Primes." J. Recr. Math. 18, 279-280, 1985.Dubner, H. and Keller, W. "Factors of Generalized Fermat Numbers." Math. Comput. 64, 397-405, 1995.Morimoto, M. "On Prime Numbers of Fermat Type." Sugaku 38, 350-354, 1986.Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 102-103 and 415-428, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A000215/M2503, A059919, A078303, and A078304 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上被引用

廣義費馬數

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “廣義費馬數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GeneralizedFermatNumber.html

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