近似平方素數

將形如 的數稱為“近似平方數”。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 , , 4, 11, 20, 31, 44, 59, 76, 95, ... (OEIS A028875)。 這些數對於索引 , 6, 8, 12, 14, 16, ... (OEIS A028876) 是素數，對應的素數為 11, 31, 59, 139, 191, 251, 479, ... (OEIS A028877)。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 , 0, 5, 12, 21, 32, 45, 60, ... (OEIS A028347)。 由於它們總是可以分解為 (當 時)，所以這種形式的唯一（正）素數是 5。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 , 1, 6, 13, 22, 33, 46, 61, ... (OEIS A028872)。 這些數對於索引 , 8, 10, 14, 20, 26, 32, ... (OEIS A028873) 是素數，對應的素數為 13, 61, 97, 193, 397, 673, ... (OEIS A028874)。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 , 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, ... (OEIS A008865)。 這些數對於索引 , 3, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 27, ... (OEIS A028870) 是素數，對應的素數為 2, 7, 23, 47, 79, 167, 223, 359, 439, ... (OEIS A028871)。 “Kynea 素數”（見下文）是這種形式的特例。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, ... (OEIS A005563)。 由於它們總是可以分解為 (當 時)，所以這種形式的唯一素數是 3。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... (OEIS A002522)。 這些數對於索引 , 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, ... (OEIS A005574) 是素數，對應的素數為 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, ... (OEIS A002496)。 費馬素數 和 廣義費馬素數 (當 時) 是這種形式的。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, ... (OEIS A059100)。 這些數對於索引 , 3, 9, 15, 21, 33, 39, 45, 57, 81, 99, ... (OEIS A067201) 是素數，對應的素數為 3, 11, 83, 227, 443, 1091, 1523, 2027, ... (OEIS A056899)。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, ... (OEIS A117950)。 這些數對於索引 , 4, 8, 10, 14, 22, 28, 38, 50, 52, 62, ... (OEIS A049422) 是素數，對應的素數為 7, 19, 67, 103, 199, 487, 787, 1447, ... (OEIS A049423)。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 5, 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85, ... (OEIS A087475)。 這些數對於索引 , 3, 5, 7, 13, 15, 17, 27, ... (OEIS A007591) 是素數，對應的素數為 5, 13, 29, 53, 173, 229, 293, 733, ... (OEIS A005473)。

形如 的數，當 , 2, ... 時，為 6, 9, 14, 21, 30, 41, 54, 69, ... (OEIS A117951)。 這些數對於索引 , 12, 36, 48, 72, 78, 96, ... (OEIS A078402) 是素數，對應的素數為 41, 149, 1301, 2309, 5189, ... (OEIS A056905)。

對於 , 2, ..., 形如 的前幾個近似平方數是 , 7, 47, 223, 959, 3967, ... (OEIS A093112)。 截至 2016 年 6 月，已知總共有 42 個這種形式的素數（最初的研究者隨意地將它們稱為 Carol 素數，以紀念一位私人熟人）。 前幾個素數的索引為 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, ... (OEIS A091515)，對應的素數為 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, ... (OEIS A091516)。 下表總結了一些這種形式的大素數。

	十進位制位數	發現者
	152916	C. Emmanuel (2007 年 5 月 7 日；Harvey； http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80384)
	313290	M. Rodenkirch (2016 年 4 月 14 日)
	393441	M. Rodenkirch (2016 年 6 月 15 日)

對於 , 2, ..., 形如 的前幾個近似平方數是 2, 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, ... (OEIS A093069)。 截至 2016 年 6 月，已知總共有 50 個這種形式的素數（最初的研究者隨意地將它們稱為 Kynea 素數，以紀念一位私人熟人）。 前幾個素數的索引為 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, ... (OEIS A091513)，它們是 2, 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, ... (OEIS A091514)。 下表總結了一些這種形式的大素數。

	十進位制位數	發現者
	169553	C. Emmanuel (2005 年 10 月)； http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75878
	222510	M. Rodenkirch (2016 年 2 月)
	226405	M. Rodenkirch (2016 年 2 月 7 日)
	266142	M. Rodenkirch (2016 年 2 月 28 日)
	374146	M. Rodenkirch (2016 年 5 月 30 日)
	398250	M. Rodenkirch (2016 年 6 月 19 日)